7. Способ Эйлера—Коши.

В [2] мы указали приближенное по строение интегральной кривой уравнения

при начальном условии

Этот прием можно упростить, употребляя вместо сетки квадратов лишь прямые, параллельные оси OY. Получающийся таким путем прием приводит к сравнительно простому и практически удобному способу приближенного вычисления ординаты у искомой интегральной кривой при заданной абсциссе. Нанесем на плоскости последовательность прямых, параллельных О К: причем

Рис. 7.

Пусть начальная точка интегральной кривой (рис. 7). Из нее проводим луч с угловым коэффициентом пересечения его в точке с прямой . Пусть ордината Она определяется из соотношения

ибо отрезки выражаются числами а тангенс угла по построению равен Из точки проводим луч с угловым коэффициентом до пересечения его в точке с прямой Ординаты точки пересечения определяются из соотношения

Точно так же, исходя из точки , можно определить следующую точку и т. д.

Положим теперь, что нам надо при заданном значении определить значение у решения уравнения (42), удовлетворяющее начальным условиям (43). В силу сказанного выше, для этого надо поступать так: промежуток разбиваем на отдельные части

и последовательно определяем ординаты по формулам:

При указанных в [2] условиях относительно свойств функция если число промежутков увеличивается, а каждый из них стремится к нулю, то величина У, получаемая из формул (45), будет стремиться к истинной ординате у искомой интегральной кривой, если заданное значение достаточно близко к начальному [см. 53]. Складывая равенства (45) почленно, найдем без труда

В простейшем случае уравнения

написанная формула будет иметь вид

что, как известно [1, 87], дает приближенное выражение для величины

т. е. для решения данного уравнения.

Вычисление по формулам (45) производится в следующем порядке. Первая из формул (45) дает разность . Складывая ее с у получаем вторую ординату и с помощью второй из формул (45) находим разность . Складывая эту последнюю с получаем третью ординату и с помощью третьей из формул (45) находим разность и т. д. Прибавляя все эти разности к находим У. Мы вернемся еще к этому методу в следующей главе.

Пример. Применим указанный приближенный метод к уравнению

при условии Разделяя беременные и интегрируя, убедимся в том, что искомое решение выражается формулой

При применении формул (45) будем считать, что

В прилагаемой таблице приведены результаты вычислений с округлением в последнем знаке. Первый столбец содержи величины второй — соответствующие им величины у, третий — значения четвертый — разности наконец последний — значения ординат точной интегральной кривой

При ошибка, как видно из таблицы, меньше 0,031, т. е. составляет приблизительно 2,5%.