18. Понижение порядка дифференциального уравнения.

Укажем несколько частных случаев, когда порядок уравнения может быть понижен.

1. Положим, что уравнение не содержит функции у и ее нескольких последовательных производных , т. е. имеет вид

Вводя новую функцию понизим порядок уравнения на k единиц:

Если найдем общий интеграл этого последнего уравнения

то у определится из уравнения:

рассмотренного нами в [17].

2. Если уравнение не содержит независимой переменной т. е. имеет вид

то примем у за независимую переменную и введем новую функцию

Считая, что есть функция от у и через посредство у зависит от и применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от у по выражения

откуда видно, что в новых переменных порядок уравнения будет Если это преобразованное уравнение проинтегрировано

то нахождение общего интеграла данного уравнения приводится к квадратуре

откуда

Одна из произвольных постоянных входит в качестве слагаемого к х, а это равносильно тому, что всякую интегральную кривую можно перемешать параллельно оси ОХ.

3. Если левая часть уравнения

есть однородная функция [I, 154] аргументов то, вводя вместо у новую функцию по формуле

получим для и уравнение порядка. Это следует из следующих очевидных формул:

и из того, что после подстановки в левую часть уравнения вынесется некоторая степень написанной показательной функции (в силу условия однородности), и на этот множитель можно разделить обе части уравнения. Аддитивная постоянная в интеграле, стоящем в показателе степени , будет произвольным множителем в у.

Примеры. 1. Уравнение вида

относится к случаю 2, Его можно проинтегрировать и непосредственно.. Умножим обе его части на

Слева стоит, очевидно, дифференциал от и, интегрируя, получим

отделяя переменные и интегрируя, получим

Если имеются начальные условия

то, подставляя в (24) и получим

и искомое решение будет

Положим, что точка движется по оси ОХ под действием силы зависящее только от положения точки. Дифференциальное уравнение движения будет [15]

Пусть начальная абсцисса и начальная скорость точки при

Умножая обе части уравнения на и интегрируя, получим

Первое слагаемое в левой части представляег собой кинетическую энергию, а второе слагаемое - потенциальную энергию движущейся точки, и из (26) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной во все время движения. Решая равенство (26) относительно и интегрируя, получим зависимость между t и

2. Рассмотрим задачу: найти кривую кривизна которой есть заданная функция абсциссы

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка

Вводя получим уравнение первого порядка с отделяющимися переменными

и, интегрируя, будем иметь

откуда

и окончательно

3. Рассмотрим уравнение

обе части которого однородные функции

Вводя подстановку

получим

откуда для и получаем линейное уравнение

интегрирование которого дает

Подставляем в выражение у через и:

или

причем мы заменили на и положили