72. Формула Грина

Установим теперь связь между интегралом по плоской области и интегралом по ее границе . Применяем формулу (7) [59] к вычислению интеграла

где непрерывна вместе с вплоть до .

Производя сперва интегрирование по у и считая, что контур (7) области пересекается только в двух точках прямыми, параллельными оси OY (рис. 57), мы получим

С другой стороны, интегралы

будут не что иное, как криволинейные интегралы

взятые соответственно по частям (1) и (2) контура точки до точки .

Изменяя во втором из них направление интегрирования, получим

откуда

или

причем кривую нужно обходить против часовой стрелки (рис. 57).

Из этой формулы непосредственно следует, как и в [66], формула интегрирования по частям для функций , обладающих

такими же свойствами, что и

Таким же путем мы вычислим и интеграл

где Q есть другая функция от (х, у). Предположив для простоты, что контур пересекается только в двух точках прямыми, параллельными оси ОХ, мы получим

причем это выражение может быть тоже приведено к криволинейному интегралу по замкнутому контуру

Вычитая уравнение (16) из (17), мы и получим формулу Грина

Рис. 60.

Формула (18) выведена в предположении, что функции Р и Q вместе с указанными частными производными непрерывны в вплоть до и что прямые, параллельные осям ОХ и OY, пересекают не более чем в двух точках.

Для областей более общего вида применимы рассуждения из [71]. Эти рассуждения применимы и к тому случаю, когда область ограничена несколькими кривыми (рис. 60). При этом в правой части (18) надо интегрировать по всем граничным кривым, причем при принятом направлении осей надо интегрировать по внешнему контуру против часовой стрелки, а по внутренним контурам — по часовой стрелке, т. е. по всем контурам так, чтобы область оставалась слева.

Отметим, что формулу Грина (18) мы можем записать в другом виде. Пусть t — касательная к линии имеющая то же направление, что и нормаль к направленная вовне . Направление t получается из направления поворотом на прямой угол против часовой стрелки, и, следовательно, для углов, образованных и с осями координат, мы имеем: Если есть элемент дуги кривой, то

т. е.

и

Подставляя это в формулу (18) и заменяя в этой формуле Р на и Q на получим

В этом виде формула Грина представляет собой формулу Остроградского для плоскости.