28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Прежде чем переходить к уравнению с постоянными коэффициентами, мы докажем одну формулу дифференцирования. Положим, что мы имеем комплексную функцию вещественного переменного

где — вещественные функции. Производную функции определим формулой

Отсюда следует и т. д.

Если — некоторое вещественное число, то производная функции

Покажем, что эта формула остается справедливой, если есть любое комплексное число. Действительно, из определения показательной функции при комплексном показателе имеем

и, согласно сказанному выше,

откуда

или

что и требовалось доказать.

Далее, имеем

Займемся теперь решением линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

Если числа вещественны и некоторая комплексная функция является решением этого уравнения, то вещественные функции также, очевидно, удовлетворяют уравнению (20). Подставим в левую часть (20)

где — некоторое вещественное или комплексное число. Дифференцируя и вынося за скобки, получим

и функция (21) удовлетворяет уравнению (20), если есть корень квадратного уравнения

которое называется характеристическим уравнением для уравнения (20) В дальнейшем считаем, что — вещественные числа, квадратное уравнение (20) имеет два различных вещественных корня то формула (21) дает нам два решения уравнения (20)

решения линейно независимы, ибо их отношение, равное не есть постоянная. Если корни

не вещественны, то они мнимые сопряженные: . Взяв вещественную и мнимую части получаем два также линейно независимых решения:

Положим теперь, что уравнение (22) имеет равные корни. Это будет иметь место, если и при этом

Изменим немного коэффициенты так, чтобы корни сделались различными, например, сделаем так, чтобы корень по-прежнему имел значение (24), а корень немного отличался от него. При этом получаются два решения (23). Вычтем первое решение из второго и разделим на постоянную . Таким образом, мы опять получим решение [25]:

Будем теперь измененные значения коэффициентов стремить к их исходным значениям, при которых уравнение (22) имело двойной корень. При этом будет стремиться к в формуле (25) числитель и знаменатель будут стремиться к нулю, а вся дробь будет иметь своим пределом производную от функции по при т. е. второе решение уравнения будет . Итак, в случае равных корней уравнения (22) мы имеем следующие два линейно независимых решения:

Ввиду некоторой нестрогости предыдущих рассуждений убедимся непосредственной подстановкой, что действительно решение уравнения. Подставляя в левую часть уравнения (20), получим

Первое из слагаемых правой части будет равно нулю, так как есть корень уравнения (22), а второе слагаемое равно нулю в силу (24) и таким образом действительно есть решение уравнения (20).

В случае вещественных различных корней уравнение (20) имеет общий интеграл

в случае не вещественных сопряженных корней общий интеграл будет

в случае одного корня (двукратного) уравнения (20)

Отметим еще тот частный случай формулы (28), когда уравнение (22) имеет чисто мнимый корень, т. е. При этом должно быть должно быть положительным числом. Обозначая мы будем для уравнения (22) иметь корни и следовательно, уравнение

имеет общий интеграл