113. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов.

Если имеем вектор А и вещественное число а, то произведением называется вектор, по величине равный а по направлению совпадающий с А, если или противоположный А, если . В случае произведение также равно нулю.

Таким образом, если А и В — два вектора, имеющих одинаковые или противоположные направления, то между ними существует соотношение

которое можно написать в более симметричном виде

положим

Наоборот, наличие написанного соотношения указывает на то, что векторы А и В имеют одинаковые или противоположные направления.

Пусть теперь даны два каких-нибудь вектора А и В, направления которых не совпадают и не противоположны. Через произвольную точку О (рис. 82) проведем две прямые, параллельные данным векторам. Они определят плоскость, параллельную не только векторам А и В, но и всем векторам вида при произвольных значениях чисел а в силу правила сложения — также и их сумме

Рис. 82.

Обратно, всякий вектор С, параллельный построенной плоскости, можно представить в виде Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно отложить этот вектор от точки О и представить его, как диагональ параллелограмма, стороны которого параллельны А и В. Написанное выше соотношение можно переписать в более симметричном виде

и оно выражает условие компланарности трех векторов, . е. того обстоятельства, что эти три вектора параллельны одной и той же плоскости. Нели А и В имеют одинаковые или противоположные направления, то векторы А и В компланарны с любым вектором С, и в предыдущем соотношении надо считать с = 0.