118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора.

Понятие векторного произведения имеет многочисленные применения в механике и, в частности, при исследовании движения твердого тела. В дальнейшем мы пользуемся правовращающейся системой координат.

Рассмотрим сперва твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (L). При этом всякая точка М тела будет иметь скорость V, по величине

равную проиэведению расстояния РМ точки М от оси вращения (рис. 85) на угловую скорость вращения а, по направлению же перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Эту скорость v геометрически можно представить следующим образом.

Рис. 85.

Выберем на оси (L) то из двух ее направлений, по отношению к которому вращение совершается против часовой стрелки, и будем считать его положительным. Отложив от произвольной точки А оси в указанном направлении отрезок, длина которого равна мы будем иметь вектор о, который называется вектором угловой скорости. Обозначив далее через вектор, определенный отрезком AM, и вспомнив определение векторного произведения, получим без труда следующее выражение для скорости

ибо величина векторного произведения равна

а направление совпадает с направлением

Как известно из кинематики, при любом движении твердого тела, имеющего неподвижную точку О, скорости точек тела в каждый данный момент таковы, как будто бы тело вращалось вокруг некоторой оси, проходящей через точку О (мгновенная ось) с некоторой угловой скоростью ш (мгновенная угловая скорость); положение оси вращения и величина вообще говоря, будут меняться с течением времени. Согласно сказанному выше, в каждый данный момент скорость точки твердого тела определяется векторным произведением вектора мгновенной угловой скорости на век тор ОМ.

Рассмотрим другой пример. Пусть к точке М приложена сила, изображенная вектором Р, и пусть А есть некоторая точка пространства (рис. 86).

Рис. 86.

Моментом силы F относительно точки В называется векторное произведение , где есть вектор, имеющий начало в точке М и конец в точке . Опустим из точки А перпендикуляр АР на прямую, на которой лежит сила Р. Из прямоугольного треугольника АМР получим

и, следовательно, величина момента силы F относительно точки А будет

т. е. равна произведению из величины силы на расстояние точки А до прямой, на которой лежит сила. Направление момента определяется по вышеуказанному правилу определения направления векторного произведения. Из сказанного вытекает, между прочим, что момент силы не меняется при перемещении точки приложения М по прямой, на которой лежит сила. Вместо момента силы относительно точки можно, очевидно, говорить о моменте любого вектора.

Выведем выражения слагающих момента. Пусть - координаты точки — координаты точки М. Слагающие вектора будут

Пользуясь выражением слагающих векторного произведения, получим следующие слагающие момента:

Возвращаясь к примеру вращения твердого тела вокруг оси, можем сказать, что скорость точки М твердого тела равна моменту вектора угловой скорости относительно точки М. Обозначая через , координаты втой точки, через координаты начала вектора угловой скорости И через слагающие этого вектора, получим следующие выражения слагающих скорости точки М:

Определим теперь момент вектора относительно оси. Пусть в простран те имеется некоторая прямая А, которой придано определенное направление

Моментом вектора F относительно оси А называется алгебраическая величина проекции на эту ось момента вектора F относительно какой-либо точки А оси А.

Чтобы доказать законность этого определения, выясним независимость указанной в определении проекции от положения точки А на оси А. При нем ось А за ось OZ и пусть (0, 0, с) — координаты точки А и координаты начала М вектора F. При таком выборе координатных осей проекция на ось А момента вектора относительно точки А совпадает со сигающей его по оси OZ и, в силу предыдущих формул, будет равна так как Эта разность не зависит от с, т. е. от положения точки А на оси А.