85. Несобственные интегралы.

Мы неоднократно встречали интегралы, у которых либо подынтегральная функция, либо пределы интегрирования обращаются в бесконечность. В [I, 97, 98] мы условились приписывать таким интегралам определенный смысл, если выполнены некоторые условия. Теперь мы остановимся на этих интегралах подробнее.

1. Подынтегральная функция обращается в бесконечность. Пусть в интеграле

функция непрерывна при но обращается в бесконечность при или, точнее говоря, пусть становится неограниченной при стремлении х к b от меньших значений. Мы принимаем тогда по определению [I, 97]

если только предел, написанный в правой части равенства, существует. Выясним условия его существования. Согласно основному признаку Коши [I, 31], необходимым и достаточным условием существования предела переменной является то, чтобы разность каких-либо двух значений этой переменной, начиная с некоторого ее значения, для всех последующих была по абсолютному значению меньше любого наперед заданного положительного числа. В рассматриваемом случае эта разность будет

и мы получим таким образом следующее общее условие: для существования (сходимости) несобственного интеграла

у которого подынтегральная функция обращается в бесконечность при , необходимо и достаточно, чтобы при

заданном сколь угодно малом положительном числе существо вало такое , чтобы было

Принимая во внимание известное неравенство [I, 95]

непосредственно заключаем, что из сходимости интеграла

вытекает сходимость интеграла

Обратное заключение — неправильно, т. е. из сходимости интеграла (29) не вытекает сходимость интеграла (28). Если интеграл (28) сходится, то интеграл (29) называется абсолютно сходящимся [ср. I, 124].

Из общего признака вытекает весьма важный для приложений Признак Коши: если подынтегральная функция , непрерывная при удовлетворяет при х, близких к b, условию

где — положительные постоянные, причем то несобственный интеграл (29) сходится и притом абсолютно.

Если

то интеграл (29) не существует.

В самом деле, мы имеем в случае (30):

причем правая часть будет сколь угодно малой при достаточно малых так как показатель положителен .

В случае же (31) мы можем прежде всего быть уверены в том, что в соседстве с точкой непрерывная функция

сохраняет постоянный знак, так как, в силу (31), абсолютное значение остается больше положительного числа, и, следовательно, в нуль не обращается, а потому и не может переменить знака. Ограничиваясь случаем положительной функции имеем

причем правая часть может быть сделана сколь угодно большой при сколь угодно малых ибо по условию

Рис. 71.

Рис. 72.

Геометрически признак Коши ссвершенно нагляден, так как в случае (30) кривая при близких к b, находится целиком внутри области, заключенной между двумя симметричными кривыми

(рис. 71), которые при имеют конечную площадь, а потому имеет таковую. В случае же (31) кривая в соседстве с точкой выйдет из указанной области, и так как кривые (32) при 1 не имеют конечной площади, то и кривая также не будет ее иметь (рис. 72).

Совершенно аналогично можно рассмотреть те случаи, когда обращается в бесконечность при нижнем пределе или в некоторой средней точке промежутка интегрирования [I, 97].

2. Бесконечные пределы интегрирования. Мы рассмотрим теперь случай , т. е. несобственный интеграл

в предположении, что непрерывна при Отметим, что символ обозначает, что b беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие значения. Применяя признак Коши, как и в предыдущем случае, получим: для существования (сходимости) несобственного интеграла

необходимо и достаточно: при заданном сколь угодно малом положительном числе b существует такое положительное число N, что

В частности, совершенно так же, как и в случае 1, докажем Признак Коши: если подынтегральная функция непрерывна при и

то несобственный интеграл (33) абсолютно сходящийся.

Если

то интеграл (33) не существует.

Совершенно аналогичным путем можно рассмотреть несобственные интегралы [I, 98]

Укажем практически удобный способ применения признака Коши. Остановимся сначала, на интеграле вида (33). Условие его сходимости (34) сводится к тому, что существует такое что произведение при остается ограниченным. Это условие наверно выполнено, если существует конечный предел

Точно так же условие расходимости (35) имеет место, если существует предел

отличный от нуля (конечный или бесконечный). Так, например, интеграл из примера 5 [84] будет абсолютно сходящимся, так как произведение при любом положительномр стремится к нулю при Действительно, множитель не превышает единицы по абсолютной величине, а произведение -0, как в этом нетрудно убедиться по правилу Лопиталя, положив, например,

Интеграл вида

будет расходящимся, так как

Вообще интеграл от рациональной дроби с одним или двумя бесконечными пределами будет сходиться только в том случае, если степень знаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя. Кроме того, для сходимости такого интеграла необходимо, чтобы после возможных сокращений дроби знаменатель не обращался в нуль в промежутке интегрирования. Если этот промежуток , то знаменатель не должен иметь вещественных корней.

Совершенно аналогично можно применять условия (30) и (31) сходимости и расходимости интеграла в случае обращения подынтегральной функции в бесконечность. Так, например, интеграл

сходится при ибо произведение стремится к единице при