209. Случай полупространства.

В качестве примера применения формулы (47) рассмотрим задачу Дирихле для полупространства. Требуется найти функцию , гармоническую в полупространстве если известны ее предельные значения на плоскости

Пусть — расстояние от переменной точки М до точки причем расстояние от переменной точки М до точки симметричной с относительно плоскости Дробь есть гармоническая функция точки М в полупространстве ибо лежит вне этого полупространства. Если М находится на плоскости то, очевидно, Таким образом функция Грина в рассматриваемом случае имеет вид

Направление нормали к плоскости внешней по отношению к полупространству есть направление, противоположное оси OZ, т. е. и формула (47) дает

После дифференцирования квадратной скобки надо положить z = 0. Производя несложные выкладки, получим окончательно

Мы не будем проверять, что правая часть представляет гармоническую функцию и имеет предельные значения когда стремится к . В данном случае бесконечно далекая точка лежит на поверхности области, и нетрудно проверить, что построенное решение обладает следующим свойством: если непрерывна и на бесконечности, т. е. если имеет конечный определенный предел а при беспредельном удалении точки на плоскости z = 0, то и имеет тот же предел а при любом беспредельном удалении точки в полупространстве .

Иначе говоря, построенное решение имеет требуемое предельное значение и в бесконечно далекой точке плоскости, если непрерывна в этой точке.

Совершенно аналогично при решении задачи Дирихле для полуплоскости функция Грина имеет вид

и формула (47 а) при предельных значениях

дает решение задачи

Подробное рассмотрение задачи Неймана мы относим к тому IV.