150. Гауссова кривизна.

Выясним геометрический смысл понятия о гауссовой кривизне. Примем за координатные линии на поверхности — линии кривизны этой поверхности. Вдоль каждой из этих линий будет выполнено соотношение (72), причем коэффициент а есть, как мы видели, один из главных радиусов кривизны. Это дает нам следующие соотношения:

Сопоставим всякой точке М поверхности сферы единичного радиуса, которая получается в пересечении этой сферы с вектором отложенным из центра сферы, причем есть единичный вектор нормали к поверхности в точке М. Такое точечное соответствие между точками поверхности и точками сферы называется обычно сферическим отображением поверхности. Положение точки будем характеризовать теми же параметрами и и v, что и положение М. Ввиду того, что координатные линии суть линии кривизны, будем иметь

Радиус-вектор сферического изображения есть по определению и, в силу формул (81) и (82), коэффициенты первой формы Гаусса для сферического изображения будут:

Остановимся лишь на доказательстве среднего из равенств, ибо остальные два непосредственно вытекают из (81) и (82). Формулы (49) дают . Раз мы приняли за координатные линии линии кривизны, то Умножая первое из равенств (81) на или второе на получим

Элемент площади самой поверхности и соответствующий элемент сферического изображения будут

или, в силу (83)

откуда видно, что гауссова кривизна в точке М по абсолютной величине есть предел отношения площади сферического отображения к соответствующей площади самой поверхности, когда эта последняя беспредельно сжимается к точке М. Упомянутое отношение характеризует, очевидно, степень разбросанности пучка нормалей к поверхности в точках элемента dS.

В [146] мы вывели выражение гауссовой кривизны К через коэффициенты двух форм Гаусса. Самим Гауссом было дано выражение только через коэффициенты Е, F и О и их производные по u и v. Из этого обстоятельства вытекает одно важное следствие, на котором мы остановимся. Пусть между двумя поверхностями (S) и установлено точечное соответствие, причем соответствующие точки характеризуются одинаковыми значениями параметров и и v. Каждая из поверхностей будет иметь свою первую форму Гаусса, выражающую квадрат элемента длины. Тождественность этих двух форм равносильна тому, что при упомянутом точечном соответствии длины сохраняются, или, иначе говоря, поверхности наложимы друг на друга. При этом коэффициенты и О и их производные по и и v будут для обеих поверхностей одни и те же, а потому и кривизна К в соответствующих точках обеих поверхностей будет иметь одно и то же значение, т. е. при отображении друг на друга двух поверхностей, сохраняющем длину, гауссова кривизна в соответствующих точках обеих поверхностей имеет одно и то же значение.

В частности на плоскости гауссова кривизна равна нулю, и у поверхностей, которые могут быть наложены на плоскость без искажения длин, должно быть т. е. все точки — параболические. В предыдущем мы иели пример таких поверхностей, а именно — конус и цилиндр.