24. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение с частными производными

Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет

Выше [20] мы нашли ее два независимых интеграла

Первое из уравнений дает семейство плоскостей, проходящих через ось OZ, а второе — сферы с центром в начале координат. Интегральными линиями системы (88) будет семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат. Общее решение уравнения (87) будет

где - произвольная функция своих двух аргументов. Найдем вид функции F так, чтобы поверхность

проходила через прямую

Исключаем у и z из уравнений (89) и (92). Первое из уравнений (89) и уравнения (92) дают

подставляя во второе из уравнений (89), получаем соотношение между :

При таком виде функции F уравнение (91) дает уравнение искомой поверхности

2. Положим, что поле направлений, определяемое системой дифференциальных уравнений, таково, что во всех точках пространства направление одно и то же. Пусть (а, b, с) — числа, пропорциональные направляющим косинусам этого фиксированного направления. Система дифференциальных уравнений будет

что дает сразу два интеграла

Интегральные линии суть, очевидно, параллельные прямые линии, имеющие указанное выше фиксированное направление. Соответствующее уравнение с частными производными

определяет поверхности , являющиеся геометрическим местом некоторых из указанных выше прямых линий, т. е. уравнение (93) есть уравнение цилиндрических поверхностей. Его общее решение имеет вид

где F — произвольная функция, и общее уравнение цилиндрических поверхностей, образующие которых имеют указанное выше направление, будет

3. Положим, что поле направлений таково, что в каждой точке направление, даваемое полем, совпадает с направлением вектора, идущего из фиксированной течки в точку . Проекции этого вектора на координатные оси будут

и, следовательно, эти же три величины пропорциональны направляющим косинусам заданного направления в точке М. Соответствующая система дифференциальных уравнений будет

и мы имеем два очевидных интеграла

Геометрически ясно, что семейством интегральных линий будет семейство прямых, проходящих через точку . Соответствующее уравнение с частными производными

будет определять конические поверхности, имеющие вершину в точке А, и общее уравнение таких поверхностей будет

где F - произвольная функция своих двух аргументов.

Отметим, что через заданную в пространстве линию (L) мы можем провести, вообще говоря, только одну коническую поверхность, которая будет образована прямыми, идущими из точки А в точки линии (L). Но если линия есть линия, принадлежащая семейству интегральных линий системы, т. е. прямая, проходящая через точку А, то можно провести бесчисленное множество конических поверхностей, содержащих такую прямую

Рассмотрим еще систему дифференциальных уравнений вида

Приравнивая все три отношения дифференциалу некоторой новой переменной t, можем написать

Отсюда нетрудно составить два уравнения, которые непосредственно проинтегрируются. Для составления первого умножим уравнения (95) почленно на а, b, с и сложим, а для составления второго уравнения умножим уравнения (95) на х, у, z и сложим. Таким образом, получаются два уравнения

интегрирование которых и дает два интеграла системы

Первый из интегралов дает семейство параллельных плоскостей, направляющие косинусы нормали к которым пропорциональны числам (a, b, с). Второй из интегралов дает семейство сфер с центром в начале. В пересечении этих плоскостей и сфер получится семейство интегральных линий системы (94). Это будет, очевидно, семейство окружностей, расположенных на упомянутых выше плоскостях и имеющих центр на прямой

проходящей через начало координат и перпендикулярной ко всем упомянутым плоскостям.

Нетрудно видеть, что соответствующее уравнение с частными производными

определяет поверхности вращения, для которых прямая (97) есть ось вращения, и общее уравнение таких поверхностей будет

где - произвольная функция своих двух аргументов.

Заметим, что вид знаменателей в системе (97) можно было бы определить из геометрических соображений, задавая соответственным образом поле направлений, как это мы делали в предыдущих примерах.

5. К линейному уравнению с частными производными приводит задача об ортогональных траекториях в пространстве. Положим, что задано семейство поверхностей

зависящее от параметра С, так что через всякую точку пространства проходит, вообще говоря, одна и только одна поверхность семейства. Требуется найти поверхность

которая пересекала бы все поверхности (98) под прямым углом. Условие перпендикулярности нормалей поверхностей (98) и (99) даст нам линейное уравнение с частными производными для искомой функции :

Соответствующая система обыкновенных уравнений

определяет кривые, у которых в каждой их точке касательная есть нормаль к поверхности (98), проходящей через эту точку. Если

- два независимых интеграла системы (100), то уравнение искомых поверхностей будет иметь вид