44. Примеры

1. Рассмотрим систему

где и - искомые функции от х. Определяя из первого уравнения

в подставляя во второе уравнение, получим уравнение четвертого порядка для у:

общий интеграл которого определяется по обычным правилам:

Подставляя это выражение в формулу (165), получим выражение для

2. Рассмотрим систему трех уравнений первого порядка .

где — искомые функции от t. Решая первое уравнение относительно:

и подставляя это выражение в остальные два уравнения, получим

Подставляя выражение из второго уравнения в первое, получим уравнение второго порядка, содержащее одно только х (исключительный случай):

общий интеграл которого будет

Подставляя это во второе из уравнений (168), получаем уравнение первого порядка для :

общий интеграл которого будет

Подставляя выражения и (1692) в формулу (167), получим выражение для у

Здесь получился исключительный случай, о котором мы уже упоминал» в Вместо одного дифференциального уравнения третьего порядка мы получили одно уравнение второго порядка и еще одно уравнение первого порядка.

3. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами встречаются не только при рассмотрении малых колебаний механических систем около положения равновесия, как мы уже упоминали выше, но и при исследовании электрических колебаний. Положим, что имеются две цепи, находящиеся в магнитной связи, т. е. ток одной из цепей создает магнитное полег индуктирующее электродвижущую силу другой цепи. Если и — силы токов в цепях, то для первой цепи индуктированная электродвижущая сила будет , а для второй где М — постоянный коэффициент взаимной индукции. Если мы предположим, что ни в одной из цепей нет источника тика, то уравнения будут

где — коэффициент самоиндукции, сопротивление и емкость первой цепи, те же величины для второй цепи.

Покажем на примере этой системы, каким образом можно, не вводя вспомогательной функции V, исключить одну из неизвестных функций и составить одно дифференциальное уравнение четвертого порядка с одной не известной функцией.

Определяя из уравнения (171) и подставляя полученное выражение в уравпение (170), получим уравнение

Дифференцируя это уравнение и заменяя М его выражением

из уравнения (170), получим

Наконец, дифференцируя это уравнение еще раз и заменяя опять М выражением (173), придем к линейному уравнению четвертого порядка для :

Если бы мы стали исключать то для получили бы совершенно такое же уравнение четвертого порядка. Соответствующее ему характеристическое уравнение будет

где для краткости мы положили

Уравнение (176) можно переписать в виде

Если бы магнитной связи между цепями не было, то мы должны были бы в уравнениях (170) и (171) положить и получили бы два отдельных уравнения, определяющих явления разряда в цепях

Обыкновенно обе цепи бывают колебательными, иначе говоря, характер ристические уравнения, соответствующие дифференциальным уравнениям (178)

имеют комплексные корни, т. е. или

или иначе

Уравнение (177) при дает две пары комплексных сопряженных корней [корни уравнений (179)], и при небольших значениях М, каковые обычно в встречаются на практике, уравнение (177) будет также иметь две пары комплексных сопряженных корней с отрицательными вещественными частями и общее выражение для будет

Заметим, что, зная мы можем получить уже без всяких квадратур. Действительно, из уравнения (174) мы определим подставляя найденное выражение в уравнение (172), получим уравнение первой степени относительно . Выражение будет содержать члены того же вида, что и коэффициентами, которые будут линейными комбинациями постоянных .

Если пренебречь сопротивлениями, т. е. считать и, кроме считать, что цепи настроены на одну и ту же частоту, т. е. Уравнение (177) будет

откуда

и

Этим чисто мнимым корням соответствует решение в виде тригонометрических функций. Таким образом, при магнитной связи цепейг настроенных на одинаковую частоту, возникают два колебания, частоты которых зависят от общей частоты цепей и постоянной к, характеризующей магнитную связь следующим образом: