§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

141. Параметрические уравнения поверхности.

До сих пор мы рассматривали уравнение поверхности в пространстве с координатными осями Х, Y, Z в явной форме или в неявной форме

Можно написать уравнения поверхности в параметрической форме, выражая координаты ее точек в виде функций двух независимых переменных параметров и

Мы будем предполагать, что эти функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные до второго порядка в некоторой области изменения параметров

Если подставить эти выражения координат через u и v в левую часть уравнения (37), то мы должны получить тождество относительно и и V. Дифференцируя это тождество по независимым переменным и и v, будем иметь

Рассматривая эти уравнения как два однородных уравнения относительно и применяя алгебраическую лемму, упомянутую в [116], получим

где k — некоторый коэффициент пропорциональности.

Мы считаем, что множитель к и по крайней мере одна из разностей, стоящих в правых частях последних формул, отличны от нуля.

Обозначим для краткости написанные три разности следующим образом:

Как известно, уравнение касательной плоскости к нашей поверхности в некоторой ее точке (х, у, z) можно написать в виде [I, 160]

или, заменяя пропорциональными величинами, можем переписать уравнение касательной плоскости так:

Коэффициенты в этом уравнении, как известно, пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности.

Положение переменной точки М на поверхности характеризуется значениями параметров и и v, и эти параметры называются обычно координатами точек поверхности или координатными параметрами.

Придавая параметрам и и v постоянные значения, получим два семейства линий на поверхности, которые мы назовем координатными линиями поверхности: координатные линии вдоль которых меняется только v, и координатные линии вдоль которых меняется только и. Эти два семейства координатных линий дают координатную сетку на поверхности.

В качестве примера рассмотрим сферу с центром в начале координат и радиусом R. Параметрические уравнения такой сферы могут быть написаны в виде

Координатные, линии представляют собой в данном случае, очевидно, параллели и меридианы нашей сферы.

Отвлекаясь от координатных осей, мы можем охарактеризовать поверхность переменным радиусом-вектором идущим из постоянной точки О в переменную точку М нашей поверхности. Частные производные от этого радиуса-вектора по параметрам дадут, очевидно, векторы, направленные по касательным к координатным линиям. Составляющие этих векторов по осям

будут, согласно и отсюда видно, что коэффициенты в уравнении касательной плоскости (39) суть составляющие векторного произведения Это векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к касательным т. е. вектор, направленный по нормали поверхности. Квадрат длины этого вектора выражается, очевидно, скалярным произведением вектора на самого себя, т. е. проще говоря, квадратом этого вектора 1). В дальнейшем будет играть существенную роль единичный вектор нормали к поверхности, который мы можем, очевидно, написать в виде

Изменяя порядок сомножителей в написанном векторном произведении, мы получим для вектора (40) противоположное направление. Мы будем в дальнейшем определенным образом фиксировать порядок множителей, т. е. будем определенным образом фиксировать направление нормали к поверхности.

Возьмем на поверхности некоторую точку М и проведем через эту точку какую-либо кривую (L), лежащую на поверхности. Эта кривая, вообще говоря, не координатная линия, и вдоль нее будут меняться как Ну так и v. Направление касательной к этой кривой будет определяться вектором если считать, что вдоль (L) в окрестности точки параметр v есть функция от имеющая производную. Отсюда видно, что направление касательной к кривой, проведенной на поверхности, в какой-либо точке М этой кривой, вполне характеризуется величиной в этой точке. При определении Касательной плоскости и выводе ее уравнения (39) мы считали, что функции (38) в рассматриваемой точке и ее окрестности имеют непрерывные частные производные и что, по крайней мере, один из коэффициентов уравнения (39) отличен от нуля в рассматриваемой точке.

Если при , то то же будет иметь место и в некоторой окрестности указанных значений. Согласно первым Двум из формул (38) эта окрестность перейдет в окрестность значений и для значений достаточно близких к первые два из уравнений (38) могут быть решены относительно и т. е. могут быть выражены через х и у. Подстановка этих выражений в третье из уравнений (38) Дает в окрестности рассматриваемой точки уравнение поверхности в явной форме