93. Счетные множества. Действия над точечными множествами.

Введем новый термин. Пусть имеется некоторое множество, содержащее бесконечное число элементов. Оно называется счетным множеством, если все содержащиеся в нем элементы можно пронумеровать целыми положительными числами. Мы будем часто говорить в этом случае, что множество содержит счетное число элементов. Пусть мы имеем не одно счетное множество, а счетное число счетных множеств. Их элементы можно обозначить буквой с двумя значками первый указывает номер множества, а второй — номер элемента в этом множестве. Все эти элементы также можно пронумеровать по возрастанию суммы значков и первого из них при одинаковой сумме:

т. е. объединение счетного числа счетных множеств есть также счетное множество.

То же будет и при объединении конечного числа счетных множеств, а также и в том случае, когда среди объединяемых множеств кроме счетных есть и конечные множества. Рассмотрим еще множество рациональных чисел из промежутка 1. Их можно пронумеровать по возрастанию суммы числителя и знаменателя и по возрастанию числителя при одинаковой сумме. При этом дроби берутся

в несократимой форме:

Так же можно пронумеровать дроби из любого промежутка или на всей числовой оси.

Введем обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Если точка М принадлежит множеству Е, то будем писать: МЕ. Если же М не принадлежит Е, то будем писать . Если все точки множества Е принадлежат множеству Е, то будем писать . Определим действия над точечными множествами.

Суммой конечного или счетного числа множеств

называется множество, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из

Разностью множеств

называется множество, состоящее из точек не принадлежащих . Произведением конечного или счетного числа множеств

называется множество, состоящее из точек, принадлежащих всем . Отметим, что если то из (2) следует

Если , то определяемое формулой (2), не содержит ни одной точки. Такое множество называется пустым множеством: Множество Е, определяемое формулой (3), будет пустым, если нет точек, принадлежащих всем .

Указанные выше определения имеют, очевидно, смысл и для множеств, состоящих из любых элементов. Отметим при этом, что указанный выше результат (объединение счетного числа счетных множеств есть счетное множество) надо формулировать так: сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество.

Напомним еще об одном понятии [91]. Мы рассматриваем в основном множества точек на некоторой плоскости. Совершенно аналогично можно рассматривать точки на прямой или в трехмерном пространстве. Множеством дополнительным для Е (см. [91]) на плоскости называется множество всех точек этой плоскости, не принадлежащих Е (аналогично для прямой или трехмерного пространства).

Это множество обозначается обычно символом . Очевидно, что . Если — два множества и то . В дальнейшем равенство для двух множеств А и В означает, эти множества состоят из одних и тех же точек, т. е. если , то и наоборот, если МВ, то МЛ. Для дополнительных множен в имеют место следующие формулы:

Докажем, например, первую из них. Пусть М принадлежит множеству, стоящему в левой части (4), т. е. . Докажем, что она принадлежит множеству, стоящему в правой части (4). Из следует, что и из следует, что . Но раз и то М принадлежит правой части (4). Совершенно аналогично доказывается, что если точка М принадлежит правой части (4), то она принадлежит и левой части (4). Формула (7) непосредственно следует из (5), а (6) из (7).

Основную роль в дальнейшем будут играть открытые и замкнутые множества. Сформулируем ряд теорем, касающихся этих множеств.

Теорема 1. Если открытое множество, то — замкнутое, а если — замкнутое, то — открытое.

Теорема 2. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств — открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

Теорема Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств — замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество.

Теорема 4. Пели открытое и замкнутое множества, то открытое множество. Исли же замкнутое, а открытое множество, то -замкнутое множество.

Отметим, что пустое множество считаем как замкнутым, так и открытым. Доказательство всех этих теорем очень просил. Для примера докажем теорему 2. Пусть открытые множества и точка , где - сумма . При этом принадлежит какому-либо слагаемому но поскольку это слагаемое открытое множество, ему принадлежит некоторая -окрестность а отсюда следует, что эта окрестность

принадлежит и S. Таким образом, если , то в S входит и некоторая -окрестность то есть S — открытое множество. Положим теперь, что произведение (3) конечно , и все открытые множества. Если , то она входит во все , причем принадлежит и некоторая -окрестпость . Пусть наименьшее из положительных чисел . При этом -окрестность М входит во все следовательно и в T, т. е. Т — открытое множество. Теорема 3 следует из теорем 1 и 2 при помощи перехода к дополнительным множествам с использованием формул (5) и