158. Периодические функции периода 2l.

Часто бывает нужно разлагать в тригонометрический ряд по косинусам и синусам функцию определяемую не в промежутке , а в промежутке или же — в ряд только по косинусам или только по синусам функцию, определенную в промежутке . Эта задача приводится к предыдущей с помощью изменения масштаба, т. е. введения вместо вспомогательной переменной по формуле

Положим

Если функция была определена в промежутке Функция будет определена в промежутке переменной . Разлагая функцию в ряд Фурье, получаем

где, в силу (26):

Таким образом теорема Дирихле остается верной и для промежутка с тем, однако, что разложение (6) заменяется разложением

причем коэффициенты определяются по формулам (27).

То же относится и к разложениям функции определенной в промежутке , только по косинусам или только по синусам; для функции получаются ряды

и

Пример. Разложить по синусам функцию , определенную равенством

Мы имеем в данном случае

так как в промежутке подынтегральная функция обращается в 0. Простое вычисление, которое мы предоставляем сделать читателю, дает

так что

Промежуток может быть заменен любым промежутком длины как это мы уже упоминали для промежутка длины При этом сумма ряда (28) дает в промежутке и при вычислении коэффициентов по формулам (27) промежуток интегрирования надо заменить промежутком .