79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных.

Обобщая уравнение (55) на три переменные, получим

где — заданные функции . Если выполнены условия (39), то левая часть уравнения (77) есть полный дифференциал некоторой функции , и общий интеграл уравнения (77) будет

где С—произвольная постоянная. Геометрически уравнение (78) дает семейство поверхностей в пространстве. Если левая часть (77) не есть полный дифференциал, то будем искать интегрирующий множитель, т. е. такую функцию , чтобы левая часть уравнения

была полным дифференциалом. Условия (39) дают при этом:

что можно переписать так:

Умножая эти равенства почленно на , складывая и сокращая на получим соотношение между

Таким образом, предполагая существование интегрирующего множителя мы пришли к необходимому условию (81), которому должны удовлетворять коэффициенты . Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что это условие и достаточно, т. е. уравнение (77) не всегда имеет интегрирующий множитель, и равенство (81) дает необходимое и достаточное условие существования такого множителя. Если существует, то левая часть уравнения (79) есть полный дифференциал некоторой функции U, и равенство (78) дает общий интеграл уравнений (79) и (77). Если же условие (81) не

выполнено, то уравнение (77) не имеет общего интеграла вида (78). Условие (81) называется иногда условием полной интегрируемости уравнения (77).

Выясним геометрический смысл уравнения (77) и его общего интеграла (78), если последний существует. Функции

определяют в каждой точке некоторый вектор проекциями которого на оси они и являются. Система дифференциальных уравнений

определяет семейство некоторых линий (L) в пространстве, в каждой точке которых соответствующий вектор v направлен по касательной. Уравнение (77) равносильно условию перпендикулярности бесконечно малого перемещения с составляющими к вектору v, т. е. уравнение (77) определяет в каждой точке некоторый плоский элемент, перпендикулярный к v или, что то же, лежащий в нормальной плоскости к той из линий (L), которая проходит через взятую точку. Общий интеграл (78) и дает семейство поверхностей, касательные плоскости которых в каждой точке удовлетворяют этому условию, т. е. нормальны к V. Иначе говоря, поверхности (78) будут ортогональны к линиям (L). Если задано семейство линий (L), заполняющих пространство, то можно определить в каждой точке касательный к ним вектор v, взяв его длину хотя бы равной единице, его составляющие и построить уравнение (77). Равенство (81) дает при этом условие, чтобы заданное семейство линий (L) было ортогонально к некоторому семейству поверхностей.