4. Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

где а — постоянная, отличная от нуля. Переменные разделяются:

откуда

Интегрируя, мы пишем под знаком логарифма абсолютную величину, принимая во внимание возможность отрицательных величин, и произвольную постоянную обозначаем через . Уравнение (12) определяет поле направлений на всей плоскости, кроме прямой . Если мы перепишем его в виде

то увидим, что поле направлений определено на прямой при ; в этих точках направление касательной параллельно оси ОY. В точке (0, 0) правая часть (12) и не имеют смысла. Для уравнения (12) имеются две области В теоремы А: левая полуплоскость и правая а для уравнения верхняя полуплоскость и нижняя

Разберем теперь случаи: и При из (13) следует; получаем семейство парабол с вершиной в (0, 0), касающихся оси ОХ, и прямую а для уравнения и прямая будет интегральной линией. Через каждую точку плоскости, кроме (0, 0), проходит одна и только одна линия семейства, состоящего из упомянутых парабол и осей координат. В точке (0, 0), где дифференциальное уравнение не определено, все линии упомянутого семейства встречаются (узловая точка всех интегральных линий).

Если бы мы рассматривали только уравнение (12), то из семейства интегральных линий исключилась бы ось

Везде вдоль этой оси, кроме начала, правая часть (12) обращается в бесконечность (теряет непрерывность). Отметим, что все интегральные линии уравнения (12) касаются оси ОХ. При из (13) следует т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех прямых, проходящих через начало. Это семейство включает, как и при оси координат. Отметим, что в этом случае интегральные линии уравнения (12) (прямые) приходят в начало с различными угловыми коэффициентами. При из (13) получаем т. е. семейство интегральных линий уравнений (12) и (12,) содержит все равнобочные гиперболы, имеющие асимптотами оси координат, и сами эти оси. Последнее надо понимать так: в начале координат встречаются положительные и отрицательные части осей координат.

2. Рассмотрим уравнение

Переменные разделяются

и, интегрируя, получаем

Для уравнения (14), как и в примере 1, имеются области В теоремы А: верхняя полуплоскость и нижняя При получаем т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех окружностей с центром в (0, 0), Через всякую точку плоскости, кроме (0, 0), проходит одна и только одна такая окружность и нет ни одной интегральной линии, которая бы беспредельно близко подходила к началу.

Если рассматривать только уравнение (14), то у надо считать однозначной функцией от и всякая окружность будет состоять из двух интегральных линий: верхней части окружности (при ) и нижней (при ). На оси ОХ правая часть (14) обращается в бесконечность. В этих точках касательные к окружностям параллельны оси OY. Если переписать (14) при в виде

то указанная особенность при исчезает, но появляется особенность при и надо рассматривать правые части окружности (при ) и левые (при ), на которых однозначная функция у, что требуется уравнением Область В теоремы А для уравнения (14 будет отлична от той же области для уравнения (14) при и при применении теоремы А мы должны иметь в виду какую-либо определенную вапись дифференциального уравнения.

Этого мы и будем придерживаться в дальнейшем, если нет специальных оговорок о другой точке зрения.

Можно рассматривать совместно (14) и как мы делали в примере 1. Эта точка зрения проведена в книге И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (Москва, 1964). Указанные неудобства при рассмотрении интегральных кривых связаны с тем, что мы рассматриваем их уравнения в явной форме: или . Если перейти к параметрической форме уравнений интегральных кривых, т. е. рассматривать х и у как функции вспомогательного параметра t, то уравнение (14) заменится системой двух уравнений для двух функций х и у независимого переменного

Интегрированием систем мы займемся в дальнейшем.

Рассмотрим еще уравнение (14) при . Из (15) получпем Семейство интегральных кривых содержит все равнобочные гиперболы и их асимптоты

Рассмотрим уравнение

Здесь поле направлений определено на всей плоскости, правая часть непрерывна и имеет непрерывную производную по у на всей плоскости и область В теоремы А есть вся плоскость. Через всякую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая, которая на всем своем протяжении не имеет общих точек с другими интегральными кривыми.

Переменные в уравнении (16) разделяются, и общий интеграл имеет вид

Это — семейство равнобочных гипербол, имеющих центр в точках и асимптоты . Кроме того, уравнение (16) имеет очевидное решение . Уравнение (17) дает две интегральные кривые (две ветви гиперболы):

и

Первые из них при всевозможных С заполняют без пересечений верхнюю полуплоскость а вторые — нижнюю .

Решение может быть формально получено из (17) следующим образом: во второй из формул (17) заменим С на помножим обе части на С, что приведет к формуле откуда при и получаем у = 0. Эта прямая вместе с упомянутыми гиперболами заполняет без пересечений всю плоскость.

4. Уравнение

определяет поле направлений, как в примере 3, на всей плоскости. Переменные разделяются, и общий интеграл выражается формулой

Это есть семейство кубических парабол, которое получается из параболы параллельным переносом вдоль оси ОХ (рис. 2).

Рис. 2.

Уравнение (18) имеет также решение у = 0 (ось ОХ), которое не получается из формулы (19) ни при каком численном значении С. Легко показать, что никаких других решений уравнение (18) и уравнение не имеют. Уравнение (18), как мы уже упоминали, определяет поле направлений на всей плоскости XOY. Но производная от правой части по у, равная не существует (обращается в бесконечность) при . Теорема А имеет место в двух раздельных областях: в верхней полуплоскости и в нижней . Эти области заполнены параболами (19). Через каждую точку проходит только одна парабола. При этом постоянная С определяется из уравнения

Через точку кроме параболы, проходит еще решение и единственности решения при начальном условии нет. Если мы выделим (рис. 2) сколь угодно малый промежуток то в этом промежутке определены четыре решения уравнения (18): 1) отрезок параболы ВАС; 2) отрезок DAE оси ОХ; 3) линия DAC, состоящая из отрезка DA оси ОХ и отрезка АС параболы; 4) линия ВАЕ, состоящая из отрезка ВА параболы и отрезка оси ОХ. Все эти линии имеют уравнение вида где непрерывны (вдоль этих линий угол, образованный касательной с осью меняется непрерывно). Эти четыре интегральные линии и только они существуют на промежутке при любом сколь угодно малом фиксированном

Кратко говорят, что через точку «в малом» проходит четыре интегральные кривые.

Если мы возьмем какую-либо точку в верхней полуплоскости то через эту точку проходит единственная парабола и она не пересекается с остальными параболами (19), так что на всем своем протяжении в верхней полуплоскости она не имеет общих точек с другими интегральными линиями уравнения (18) (един-ственпость в верхней полуплоскости). Но если, спускаясь по указанной параболе, дойдем до оси ОХ, то там нам представляется бесчисленное множество возможностей продолжать эту интегральную линию: можно спускаться по той же параболе или идти направо по оси ОХ, а затем подниматься по другой параболе (или идти по оси ОХ, не поднимаясь по параболе), т. е. через каждую точку плоскости не «в малом», а «в целом» проходит бесчисленное множество интегральных кривых.