210. Потенциал объемных масс.

Рассмотрим неоднородное уравнение Лапласа

в конечной области (D) с поверхностью (S). Общее решение этого уравнения есть сумма какого-либо частного его решения и гармонической в D функции. Пусть имеется решение уравнения (54), к которому применима формула (9). Поскольку производная от 1 по любому фиксированному направлению удовлетворяет уравнению Лапласа, то подынтегральная функция в поверхностном интеграле формулы (9) и сам этот интеграл суть гармонические функции в D. Таким образом тройной интеграл должен удовлетворять уравнению (54). Но в силу (54) в этом интеграле можно заменить на , и таким образом мы получаем частное решение

уравнения (54) вида

Мы получили этот результат, предполагая, что уравнение (54) имеет решение, к которому применима формула (9). Для полного решения задачи нам надо более подробно исследовать объемный потенциал (55) при определенных предположениях относительно функции . Мы положим и будем исследовать следующий потенциал объемных масс

или

Положим, что непрерывна в (D) вплоть до (S). Как мы уже упоминали, интеграл (56) является собственным интегралом, если М лежит вне (D). В этом случае функция имеет частные производные всех порядков. Эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа . Если М принадлежит (D), то существует несобственный интеграл (56) и существует также интеграл, полученный путем дифференцирования подынтегральной функции, например, по . Но не было доказано, что он дает частную производную от V по Докажем по поводу интеграла (56) две теоремы:

Теорема 1. Если непрерывна в области (D) вплоть до (S), то и ее частные производные первого порядка непрерывны во всем пространстве, и упомянутые частные производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Доказательство будем проводить при любом положении М относительно сбласти (D). Вместо у введем новую функцию, которая отличается от у лишь при , где — заданное положительное число, но которая сама непрерывна и имеет непрерывные производные по координатам вплоть до . Для этого заменим — при полиномом: а выбрав так, чтобы при иметь

что дает непрерывность производных на стыке функции и , т. е. при . Написанные формулы дают и мы приходим к функции определенной равенствами

Подставляя эту функцию вместо в интеграл (66), получим вместо новую функцию

непрерывную во всем пространстве и с непрерывными частными производными, которые могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла, поскольку подынтегральная функция интеграла формулы (58) сама непрерывна и имеет непрерывные производные при Мы можем, например, написать

Составим разность

Поскольку совпадают при разность, стоящая справа, равна нулю для всех точек лежащих вне сферы с центром М и радиусом е. Если, например, М лежит вне (D) и меньше расстояния от М до (D), то интеграл, стоящий в правой части (60), равен нулю.

В других случаях сфера может частично или целиком попадать в (D). Обозначая через наибольшее абсолютное значение в (D) и принимая во внимание, что положительная функция, мы получим для подынтегральной функции правой части оценку

и вне сферы подынтегральная функция, как указано выше, обращается в нуль. Если мы проинтегрируем положительную функцию, стоящую в правой части (61), по всей сфере то получим.

очевидно, следующую оценку:

Подставляя вместо вторую из формул (57) и выполняя квадратуры, получим

Отсюда видно, что при непрерывные функции равномерно по отношению к положению точки М стремятся к , а потому есть также непрерывная функция [I, 144]. Для исследования частных производных функции составим интеграл, который получается дифференцированием интеграла формулы (56) по под знаком интеграла, и обозначим полученную функцию через :

Составим, как и выше, разность

Принимая во внимание, что для любой функции мы имеем

и что , можем для подынтегральной функции последнего интеграла написать неравенство

и, совершенно так же, как и выше

Принимая во внимание, что, в силу (57),

и выполняя квадратуры, получим

откуда следует, что при в производная - равномерно относительно М стремится к W (М). Выше было доказано, что

равномерно стремится к . Принимая во внимание теорему из [I, 144], мы видим, что W (М) есть частная производная от по х, т. е., в силу (62),

Непрерывность W (М) вытекает из непрерывности частных производных (59) и равномерного стремления их к пределу и теорема доказана полностью. Производные по у и z исследуются точно так же. Отметим, что при доказательстве теоремы мы использовали лишь ограниченность и ее интегрируемость.