30. Частные случаи.

Если правая часть уравнения (32) имеет специальный вид, то можно гораздо проще отыскивать частные решения, не при

бегая к методу изменения произвольных постоянных. Сделаем сначала одно замечание. Положим, что правая часть уравнения (32) есть сумма двух слагаемых:

и положим, что суть частные решения неоднородного уравнения, когда правая часть равна т. е.

Складывая, получим

т. е. есть частное решение уравнения (35).

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение вида

где в правой части а и заданные числа. В дальнейшем, для сокращения письма, введем специальное обозначение для левой части уравнения (22):

Будем искать решение уравнения (36) в том же виде, что свободный член, т. е. в виде

где искомый численный коэффициент. Подставляя это в (36) и сокращая на получим для определения уравнение, которое, в силу (37), можно записать в виде

Если не есть корень уравнения (22), т. е. , то из этого уравнения определится . Положим, что есть простой корень уравнения (22), т. е. но данном случае будем искать решение уравнения (36) в виде

Подставляя в уравнение и сокращая на получим

или, в силу

откуда определяется так как . Если, наконец, число есть двукратный корень уравнения (22), т. е. , то, как и выше, нетрудно показать, что решение уравнения надо искать в виде

Таким же методом можно находить решение и в более общем случае, когда свободный член имеет вид произведения , где — многочлен от . Если не есть корень уравнения (22), то и решение надо искать в виде

где — многочлен той же степени, что и причем искомыми являются коэффициенты . Подставляя (38) в уравнение, сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим уравнения для определения коэффициентов

Если же k есть корень уравнения (22), то в правой части (38) надо ввести множитель или смотря по тому, будет ли к простым или двукратным корнем уравнения (22).

Перейдем теперь к тем случаям, когда свободный член содержит тригонометрические функции. Рассмотрим сначала уравнение

Пользуясь формулами [I, 177]

можем представить правую часть уравнения (39) в виде

где А и В — некоторые постоянные. Если сопряженные числа не суть корни уравнения (22), то, согласно предыдущему, надо искать решение уравнения в виде

или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическим

видим, что если не суть корни уравнения (22), то решение уравнения (39) надо искать в виде

где — искомые постоянные. Совершенно так же можно показать, что в правой части формулы (40) надо ввести множитель если суть корни уравнения Постоянные определяются подстановкой выражения (40) в уравнение (39). Заметим, что если в правой части (39) участвуют, например, только то в решении (40) надо брать все же оба члена, содержащих как так и .

Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если правая часть имеет вид

где — многочлены от то решение надо искать в том же виде

где многочлены от степени которых надо принять равными наибольшей из степеней многочленов Если суть корки уравнения (22), то надо приписать еще множитель