5. Однородное уравнение.

Однородной функцией нулевого измерения, или просто однородной функцией, называется функция только от отношения Характерным является также условие Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Сохраняя прежнюю независимую переменную введем вместо у новую искомую функцию откуда Преобразуя уравнение (20), придем к уравнению

Случай и был рассмотрен в [4]. Положим Переменные разделяются, и, интегрируя, получаем

Возвращаясь к прежней переменной, можем написать уравнение семейства интегральных кривых в виде

Рассмотрим преобразование подобия плоскости XOY с центром подобия в начале координат. Преобразование это сводится к тому, что точка переходит в новое положение

или, что то же, оно сводится к умножению длины радиуса-вектора всякой точки плоскости на k с сохранением его направления.

Если М есть первоначальное положение точки, а - положение той же точки после преобразования (рис. 3), то

Рис. 3.

Применяя преобразование (22) к уравнению (21), получим уравнение

которое ввиду произвольности постоянной С не отличается от уравнения , т. е. преобразование (22) не меняет всей совокупности кривых (21), но лишь переводит одну из кривых семейства (21) в другую кривую того же семейства. Всякая кривая семейства (21) может быть, очевидно, получена из одной определенной кривой этого семейства при помощи преобразования (22), если соответствующим образом выбрать постоянную k. Полученный результат можно формулировать так: все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат.

Рис. 4.

Уравнение (20) можно переписать так:

где — угловой коэффициент касательной, а — угол, образованный радиусом-вектором из начала координат с положительным направлением оси ОХ. Таким образом уравнение (20) устанавливает связь между углами а и b, так что вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, касательные к интегральным кривым однородного уравнения должны быть параллельны между собой (рис. 3).

Из этого свойства касательных становится очевидным то обстоятельство, что преобразование подобия с центром подобия в начале координат преобразует интегральную кривую в интегральную же кривую, ибо, при удлинении радиусов-векторов точек кривой в одном и том же отношении, направления касательных на каждом радиусе-векторе не меняются (рис. 4).

Если мы применим указанное выше преобразование подобия к интегральной кривой, которая представляет собою прямую, проходящую через начало координат, то после преобразования мы получим ту же прямую, так что в этом случае упомянутый выше прием получения интегральных кривых из одной из них неприменим.

Рис. 5.

Пример. Определить кривые, у которых отрезок касательной от точки касания М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ оси ОХ (рис. 5).

Уравнение касательной имеет вид

где текущие координаты касательной.

Подставляя , определим след касательной на оси ОХ:

и условие даст нам [I, 77]

откуда получаем дифференциальное уравнение

которое, очевидно, принадлежит к типу однородных. Вводим вместо у новую функцию и по формуле

Подставив в уравнение (23), имеем

и переменные разделяются

Интегрируя, получаем

или, возвращаясь к у,

Это — окружности, проходящие через начало координат и касающиеся в этой точке оси ОХ (рис. 5). Уравнение (23) имеет еще очевидное решение у = 0. Оно может быть формально получено из (24) тем же приемом, который мы применили в примере 3 из [4]. Заменяем в (24) С на ГС, после этого обе части (24) умножаем на С и затем полагаем Числитель и знамена ель правой части уравнения (23) одновременно обращаются в нуль только в точке

Через эту точку проходят все окружности и прямая и в этой точке поле направлений не определено. Если рассматривать только уравнение (23), то на плоскости имеется четыре области В теоремы А. Они получаются, если на плоскости провести прямые . В точках этих прямых знаменатель правой части уравнения (23) обращается в нуль. Во всех этих четырех областях на интегральных кривых у есть однозначная функция

Дифференциальное уравнение

как мы сейчас покажем, приводятся к однородному или к уравнению с отделяющимися переменными. Введем вместо у новые переменные

где постоянные, которые мы сейчас определим.

Уравнение (26) в новых переменных будет

Определим из условия

При этом уравнение приведется к однородному

Преобразованию (26) соответствует параллельное перенесение ко ординатных осей, причем начало координат переходит в точку пере сечения прямых

Полученные в предыдущем результаты будут, таким образом, при менимы и к уравнению (25), с той лишь разницей, что роль начала координат будет играть точка .

Если прямые (27) параллельны, то указанное выше преобразова ние не может быть выполнено. Но в этом случае, как известно из аналитической геометрии, коэффициенты в уравнениях (27) должны быть пропорциональны

вводя вместо у новую переменную и:

получим, как нетрудно видеть, уравнение с отделяющимися переменными.

Ниже мы познакомимся с весьма важным приложением однородного уравнения.