32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

В настоящем номере мы приведем без доказательства результаты, аналогичные предыдущим, для уравнений высших порядков. В дальнейшем мы изложим общую теорию линейных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи особого метода — метода символического множителя, при этом будут доказаны и упомянутые результаты.

Однородное уравнение порядка имеет вид

где — заданные вещественные числа. Составим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению (22):

Всякому простому вещественному корню этого уравнения соответствует решение . Если этот корень имеет кратность s, то ему будут соответствовать следующие s решений:

Паре мнимых сопряженных корней первой кратности соответствуют решения

Если эти корни не простые, имеют кратность s, то им соответствуют следующие решений:

Таким образом, используя все корни уравнения (43), мы получим решений уравнения (42). Умножая эти решения на произвольные постоянные и складывая, будем иметь общий интеграл уравнения.

Для разыскания частного решения неоднородного уравнения

можно применять метод изменения произвольных постоянных [27].

Если правая часть имеет вид , где многочлен и k не есть корень уравнения (43), то и решение уравнения можно искать в виде , где многочлен той же степени что и . Если

есть корень уравнения (43) кратности s, то надо положить . Если правая часть имеет вид

и не суть корни уравнения (43), то и решение надо искать в том же виде

где степени многочленов надо брать равными наибольшей из степеней многочленов

Если же суть корни (43) кратности s, то к правой части последней формулы надо приписать множитель .

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение

Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни . Общий интеграл однородного уравнения будет

Частное решение уравнения надо искать в виде

Подставляя в уравнение, получим

что дает

откуда т. e. частное решение будет

Складывая его с (45), получим общий интеграл уравнения.

2. Возьмем уравнение четвертого порядка

Соответствующее характеристическое уравнение

может быть представлено в виде

и имеет двойной корень и пару мнимых сопряженных Общий интеграл однородного уравнения будет

Сравнивая свободный член с формулой (44), видим, что в данном случае суть простые корни характеристического уравнения, так что частное решение надо искать в виде , где a, b, c, d — искомые коэффициенты.