53. Сходимость метода Эйлера — Коши.

Вернемся к задаче (18), (19) при указанных (51) условиях, налагаемых на функцию и к прямоугольнику определяемому неравенствами (21).

Проведем через центр этого прямоугольника в сторону возрастающих х прямые АВ и АС с угловыми коэффициентами [см. обозначение (22)] (рис, 19). Высота АО треугольника S с вершинами АБС равна, очевидно, Для определенности считаем, что , так что на промежутке имеется решение задачи (18), (19).

Рис. 19.

Применим к этому промежутку метод Эйлера — Коши из [7]. Пусть задано . В силу непрерывности в Q существует такое число , что

причем точки считаются принадлежащими Q. При разбиении промежутка на части

считаем, что

Метод Эйлера — Коши приводит к следующей схеме для вычисления ординат ломаной линии , соответствующих абсциссам

Первое из этих равенств дает

откуда следует, что точка принадлежит треугольнику S. Ему же принадлежит и весь отрезок ломаной соединяющий точки Аналогично два первых равенства (38) дают

и

откуда следует, что и точка вместе с отрезком, соединяющим принадлежат S. Продолжая так и далее, убедимся в том, что вся ломаная, построенная на основе разбиения (36) промежутка

при соблюдениях условия (37) принадлежит S. Обозначим через уравнение этой ломаной. Производная функции постоянна внутри каждого частичного промежутка а в точках имеет, вообще говоря, разрыв первого рода. Мы имеем, в силу (38),

и

Из очевидной формулы

в силу (35) и (37), получаем

для , и, интегрируя разность, стоящую под знаком абсолютного значения от Q до где получаем

Для точного решения задачи (18), (19) мы имели формулу (20). Вычитаем из выражения, стоящего под знаком абсолютного значения, величину

равную нулю:

при . Обозначая получаем

Точки при принадлежат Q, и мы можем применить неравенство Липшица (24)

Если положить

то последнее неравенство принимает вид

Умножая обе части на и интегрируя по от до придем к оценке

Подставляя правую часть (39) вместо интеграла правую часть последнего неравенства, придем к окончательному неравенству

то

Это — оценка между истинным решением задачи (18), (19) и приближенным ее решением по методу Эйлера — Коши. Число можно задавать произвольно, но при уменьшении приходится прибегать к более мелким подразделениям промежутка на части. Оценка (40) имеет место, очевидно, и на промежутке при замене на

Мы рассмотрели случай . При рассуждения по существу те же. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для системы уравнений. Можно показать, что указанная выше сходимость метода Эйлера—Коши имеет место на всяком замкнутом промежутке, принадлежащем промежутку существования этого решения.