131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах.

В [63] мы вводили в рассмотрение любые криволинейные координаты в пространстве. Теперь мы рассмотрим один частный случай таких координат, а именно тот, когда элементарный объем, который, как мы упоминали в [63], представляется в виде параллелепипеда, будет прямоугольным параллелепипедом. Этот случай ортогональных криволинейных координат представляется наиболее важным и чаще всего встречается в приложении.

Пусть вместо декартовых координат х, у, z вводятся три новые переменные

или в форме, решенной относительно

Мы считаем, что все указанные функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка.

Придавая новым переменным постоянные значения , получим три семейства координатных поверхностей. Уравнения этих новых координатных поверхностей в координатах х, у, z будут:

Возьмем две какие-либо координатные поверхности из разных семейств, например, из семейств (II) и (III). Они пересекаются вдоль некоторой линии, уравнение которой будет

где В и С — определенные постоянные. Вдоль этой линии меняется только переменная и эту линию можно назвать координатной нией Аналогичным образом получаются координатные линии Вычислим квадрат элемента длины в новых координатах:

Раскрывая скобки, получим однородный полином второй степени относительно Выясним условия, при которых этот полином не будет содержать членов с произведениями различных дифференциалов

Рис. 93.

Рассмотрим, например, в выражении (100) слагаемое, содержащее произведение . Коэффициент при этом произведении будет

Элемент объема в новых координатах (рис. 93) будет ограничен тремя парами координатных поверхностей. Из его основной вершины А, которой соответствуют значения новых координат, будут выходить три ребра: АВ, АС и AD. Вдоль ребра АВ меняется только вдоль АС — только и вдоль AD — только . Рассмотрим первое и второе ребра. На первом ребре функции (94) суть функции только и направляющие косинусы касательной к этому ребру пропорциональны [I, 160]

Совершенно так же направляющие косинусы касательной ко второму ребру пропорциональны

Равенство нулю выражения (101), таким образом, равносильно требованию перпендикулярности рассматриваемых двух ребер. Если потребовать, чтобы в выражении (100) обратились в нуль и коэффициенты при то это будет равносильно требованию, чтобы все три ребра элементарного объема в новых координатах были взаимно перпендикулярны. Таким образом необходимым и достаточным условием ортогональности системы криволинейных координат является то, чтобы выражение содержало только члены с квадратами дифференциалов, т. е. члены с

Будем считать в дальнейшем, что криволинейные координаты ортогональны.

При этом получим для выражение вида:

где

Принимая во внимание, что вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только одна из переменных, мы получим, согласно формуле (102), длины этих ребер

и элемент объема в новых координатах будет выражаться формулой

Положим теперь, что в пространстве имеется векторное поле А. Расходимость этого поля в некоторой точке М определяется, как известно [121], по формуле

где — поверхность, ограничивающая некоторый объем , содержащий точку М и беспредельно сжимающийся к этой точке, и — величина, этого объема. Применим это к случаю элементарного объема в криволинейных координатах и определим поток поля через поверхность этого элементарного объема. Начнем с определения потока через правую и левую грани. В основной вершине А криволинейные координаты имеют значения а на правой грани надо будет заменить на Кроме того на правой грани направление внешней нормали совпадает с направлением

координатной линии а на левой эти направления противоположны. Таким образом на правой грани слагающая по внешней нормали будет а на левой грани это будет где проекция вектора А на касательную к координатной линии или, как говорят обычно, координатную линию Ввиду малости граней заменяем поверхностный интеграл по ним просто произведением подынтегральной функции на площадь соответствующей грани и таким образом получим для потока через правую и левую грани выражение

а поток через обе грани будет

или, согласно формулам (104),

Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим окончательно выражение потока через правую и левую грани:

Совершенно так же поток через заднюю и переднюю грани будет

и поток через верхнюю и нижнюю грани

Складывая полученные три выражения и деля на величину элементарного объема, получаемую из формулы (105), придем к выражению расходимости поля в ортогональных криволинейных координатах

Положим теперь, что поле А есть потенциальное поле, т. е. поле градиента некоторой функции то есть . В этом случае составляющая поля есть производная функции U по направлению

совершенно аналогично

Подставляя эти выражения в формулу (106), получим выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах

Уравнение Лапласа будет выглядеть в координатах следующим образом:

1. Сферические координаты. В случае сферических координат формулы (98) имеют вид [62]

причем Вычисляем

или, открывая скобки,

т. е. причем так что Подставляя в (108), получим уравнение Лапласа в сферических координатах

или

Найдем решения этого уравнения, зависящие только от радиуса-вектора. При этом надо считать и, следовательно,

откуда

и, интегрируя, получим

где произвольные постоянные. Напомним, что есть расстояние переменной точки М до любой фиксированной точки которую мы можем выбрать за начало. В частности, при мы имеем решение , о котором мы уже говорили в [90].

2. Цилиндрические координаты. В этом случае

так что Для имеем:

откуда и уравнение Лапласа в цилиндрических координатах будет, согласно (108),

или

Нетрудно показать, как и выше, что решение этого уравнения, зависящее только от расстояния точки до OZ, будет

Положим, что значения U не зависят от z, т. е. что U имеет одинаковые значения в соответствующих точках всех плоскостей, параллельных плоскости XOY. При этом достаточно рассматривать значения U на одной плоскости XOY (плоский случай). В прямолинейных прямоугольных координатах уравнение Лапласа в этом случае будет

Относя плоскость к полярным координатам , получим, в силу (112), уравнение

Из выражения (ИЗ) видно, что в плоском случае будет давать решение уравнения Лапласа, где — расстояние переменной точки плоскости до какой-либо фиксированной точки. Вместо можно, конечно, брать решение Таким образом в трехмерном пространстве основным решением уравнения Лапласа является величина, обратная расстоянию переменной точки до некоторой постоянной точки, а в плоском случае основным решением будет логарифм этого обратного расстояния или самого расстояния.