148. Теорема Дюпена.

Пусть в пространстве имеются три семейства взаимно перпендикулярных поверхностей

Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат в пространстве [131]. Радиус-вектор из начала в переменную точку пространства М характеризуется криволинейными координатами этой точки. Частные производные дают векторы, направленные по касательным к координатным линиям, и условия ортогональности координат можно написать в векторной форме

Дифференцируем первое из этих равенств по второе по q а третье по

Отсюда непосредственно получаем

Сопоставим три равенства

Из них следует, что векторы перпендикулярны к одному и тому же вектору и, следовательно, компланарны, откуда следует, что [117]

Рассмотрим теперь координатную поверхность На ней параметры и q являются координатными параметрами, и координатные линии суть линии пересечения взятой поверхности с двумя другими координатными поверхностями наших ортогональных координат в пространстве. Мы имели следующие

формулы:

и равенства (73) и (74) показывают, что в данном случае , т. е. координатные линии и суть линии кривизны на поверхности Это приводит нас к следующей теореме Дюпена: если в пространстве имеются три семейства взаимно ортогональных поверхностей, то любые две поверхности из разных семейств пересекаются по линии, которая является линией кривизны для обеих этих поверхностей.