148. Теорема Дюпена.
Пусть в пространстве имеются три семейства взаимно перпендикулярных поверхностей
Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат в пространстве [131]. Радиус-вектор
из начала в переменную точку пространства М характеризуется криволинейными координатами
этой точки. Частные производные
дают векторы, направленные по касательным к координатным линиям, и условия ортогональности координат можно написать в векторной форме
Дифференцируем первое из этих равенств по
второе по q а третье по
Отсюда непосредственно получаем
Сопоставим три равенства
Из них следует, что векторы
перпендикулярны к одному и тому же вектору
и, следовательно, компланарны, откуда следует, что [117]
Рассмотрим теперь координатную поверхность
На ней параметры
и q являются координатными параметрами, и координатные линии
суть линии пересечения взятой поверхности с двумя другими координатными поверхностями наших ортогональных координат в пространстве. Мы имели следующие
формулы:
и равенства (73) и (74) показывают, что в данном случае
, т. е. координатные линии и
суть линии кривизны на поверхности
Это приводит нас к следующей теореме Дюпена: если в пространстве имеются три семейства взаимно ортогональных поверхностей, то любые две поверхности из разных семейств пересекаются по линии, которая является линией кривизны для обеих этих поверхностей.