168. Приближение к непрерывной функции полиномами.

Нашей следующей задачей является доказательство формулы замкнутости (40) из [159]. Это доказательство будет основано на некоторых результатах из теории приближений функций полиномами. К изложению этих результатов, которые являются важными и сами по себе, мы сейчас и переходим. В основе всего здесь лежит следующая теорема:

Теорема I (Вейерштрасса). Если любая непрерывная в замкнутом конечном промежутке функция, то существует последовательность многочленов которая стремится равномерно [I, 144] к во всем замкнутом промежутке

Заметим прежде всего, что при помощи преобразования можно промежуток привести к промежутку (0, 1), и полиномы от будут полиномами от и обратно. Можно поэтому считать, что промежуток есть (0, 1). Докажем сначала два элементарных алгебраических тождества. Напишем формулу бинома Ньютона

Дифференцируя это тождество и умножая на , а затем проделывая то же самое с полученным тождеством, будем иметь два новых тождества

Полагая в будем иметь

Умножая (26) на первое из (27) — на второе из (27) — на единицу и складывая, получим при

Нетрудно показать [I, 60], что правая часть этого равенства, положительна в промежутке (0, 1) и принимает наибольшее значение при откуда следует при

Покажем теперь, что многочлены

равномерно стремятся к в промежутке (0, 1). Умножая обе части (28) на и вычитая из полученного равенства равенство (30), можем написать

Нам надо доказать, что при любом заданном положительном существует такое N, не зависящее от что

Так как при произведение , то

и достаточно доказать неравенство

Функция равномерно непрерывна в промежутке (0, 1) [I, 36], т. е. существует такое что при

Пусть фиксированное значение из промежутка (0, 1). Разобьем сумму (31) на две части и S. К первой сумме отнесем те слагаемые,

у которых удовлетворяют условию . В силу выбора имеем для первой суммы, состоящей из положительных слагаемых, оценку

где указывает, что суммирование ведется по значениям , удовлетворяющим неравенству . Если мы просуммируем по всем значениям от 0 до , то сумма может только увеличиться, т. е.

т. е. в силу (28), при любом Переходим ко второй сумме

где суммирование распространяется на те значения , которые удовлетворяют неравенству или и оценим эту сумму. Функция непрерывная в замкнутом промежутке (0, 1), должна удовлетворять в этом промежутке неравенству вида: где М — определенное положительное число [I, 35] и, следовательно, того, умножим слагаемые суммы на множители которые не меньше единицы. Вынося зависящие от переменной суммирования , за знак суммы, получим

Все слагаемые положительны, и если мы просуммируем по всем значениям от до , то значение суммы может только увеличиться. Принимая во внимание (29), получим

Числа — определенные положительные числа, и чтобы

удовлетворяло неравенству достаточно взять т. е. Мы получили то число которое нам надо было найти. Действительно, при обе суммы и неравенство (31) удовлетворено; теорема Вейерштрасса доказана.

Нетрудно видеть, что доказанную теорему можно формулировать следующим образом: если непрерывная функция в замкнутом промежутке и s — любое заданное положительное число, то существует такой многочлен от что во всем промежутке выполняется неравенство

Основываясь на теореме Вейерштрасса, докажем аналогичную теорему для периодических функций.

Теорема II. Если непрерывная периодическая функция периода — любое заданное положительное число, то существует такой тригонометрический полином

что при всяком x:

Заметим прежде всего, что, в силу периодичности, достаточно удовлетворить неравенству (34) в основном промежутке Положим сначала, что четная функция, и введем вместо новую переменную причем мы берем главное значение этой функции, т. е. при изменении t от 1 до функция непрерывно меняется от 0 до Функция будет непрерывной функцией t в промежутке и, по теореме Вейерштрасса, существует такой многочлен что

и, возвращаясь к прежней переменной, получим:

При замене на значения не изменяются ввиду четности и значения также не изменятся ввиду четности , т. е. написанное неравенство справедливо и при , т. е. во всем основном промежутке. Но, как известно целые

положительные степени выражаются линейно через синусы и косинусы кратных дуг, так что многочлен от можно представить в виде (33), и теорема доказана.

Рассмотрим теперь любую непрерывную периодическую функцию Если мы положим

то будет равно сумме причем -функция четная и нечетная, и обе — периодические. При заданном s существует, по доказанному, такой многочлен что . Если мы докажем, что существует такой многочлен что

то тригонометрический полином

будет удовлетворять условию (34). Введем по-прежнему новую переменную и рассмотрим функцию в промежутке — Функция как всякая непрерывная, нечетная и периодическая функция, обращается в нуль при и, следовательно, обращается в нуль на концах промежутка, т. е. при . Из формулы (30) вытекает, что если обращается в нуль на концах промежутка (0, 1), т. е. то и многочлен обладает тем же свойством. Пользуясь преобразованием можем свести промежуток (0, 1) к промежутку и утверждать, что существует такой многочлен равный нулю при что

Мы можем при этом написать , где тоже многочлен, и предыдущее неравенство переписывается в виде

Для функции непрерывной в промежутке существует такой многочлен что

то есть

и тем более

ибо Из (37) и следует:

т. e. неравенство (36) доказано в промежутке . Но так как функции нечетны, то неравенство тем самым справедливо и во всем промежутке .

Приведенные выше доказательства теорем I и II принадлежат С. Н. Бернштейну.