143. Вторая дифференциальная форма Гаусса.
Рассмотрим какую-нибудь линию (L) на поверхности и пусть t — ее единичный вектор касательной. Он, очевидно, перпендикулярен к единичному вектору нормали к поверхности, т. е. 
. Дифференцируя это соотношение по длине дуги s кривой (L), будем иметь
где 
— радиус кривизны и 
— единичный вектор главной нормали кривой (L). Предыдущее равенство можно переписать в виде
где 
угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой (L). Выражая дифференциалы 
через координатные параметры u и v, можно написать
Раскрывая в числителе скобки, получим вторую дифференциальную форму Гаусса:
где
и формула (46) окончательно примет вид
Укажем теперь другие выражения для коэффициентов L, М и N. Дифференцируя очевидные соотношения
по независимым переменным 
получим четыре соотношения
и отсюда можем, вместо формул (47), написать следующие выражения для коэффициентов второй дифференциальной формы Гаусса:
Вспоминая выражение (45) для вектора 
, можем переписать равенства (49) в виде
Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение поверхности дано в явном виде
В данном случае роль параметров играют х и у, и мы будем иметь следующие выражения для составляющих радиуса-вектора и его производных по параметрам:
где
Применяя формулы (42,) и (50), получим выражения коэффициентов в обеих формах Гаусса:
Выберем теперь координатные оси определенным образом, а именно поместим начало координат в некоторую точку 
на поверхности,
и ось OZ направим по нормали поверхности. Значком нуль будем обозначать тот факт, что соответствующая величина взята в точке 
При сделанном выборе координатных осей косинусы углов, образованных нормалью к поверхности с осями ОХ и О К, будут в точке 
равны нулю, мы получим 
и формулы (53) дадут в точке 
