26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.
Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение вида
Если 
непрерывны в некотором промежутке 
, то мы имеем, как будет дальше доказано, совершенно такую же теорему существования и единственности, что и для однородного уравнения (1). В дальнейшем мы будем рассматривать решения уравнения (10) в промежутке непрерывности 
.
Пусть 
есть частное решение этого уравнения, так что
Введем вместо и новую функцию у:
Подстановка в уравнение (10) дает
или в силу (11)
Это последнее уравнение называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (10). Если 
и 
— его два линейно независимых решения, то, согласно формуле (12) и предложению предыдущего номера, формула
где 
— произвольные постоянные, будет давать все решения уравнения (10). Свойство это можно формулировать так: общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Приведенное выше доказательство годится, очевидно, и для линейных неоднородных уравнений любого порядка, так что и для них имеет место высказанное свойство.
Зная два линейно независимых решения однородного уравнения (13), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение уравнения (10), а следовательно, и 
общее решение. Мы применим при этом способ, который называется способом изменения произвольных постоянных Лагранжа 
Пусть 
и 
— два линейно независимых решения уравнения (13). Его общее решение выражается, как известно, по формуле (2). Будем искать решение уравнения (10) в том же виде, считая только 
не постоянными, а искомыми функциями от 
Имея не одну, а две искомые функции 
мы можем подчинить их, кроме уравнения (10), еще одному условию. Поставим следующее условие:
Дифференцируя выражение (14) и пользуясь условием (15), будем плеть
Подставив в левую часть уравнения (10), получим
Принимая во внимание, что 
суть решения однородною уравнения (13), и вспоминая условие (15), будем иметь алгебраическую систему уравнений первой степени
для определения 
Ввиду линейной независимости решений 
:
а потому система (16) дает вполне определенные выражения для 
. Выполняя квадратуры, найдем 
и подставляя в (14), получим решение уравнения (10).
