88. Примеры.

1. Рассмотрим более подробно пример 3 из [84]:

Считаем пока, что a — фиксированное положительное число, и рассматриваем интеграл (56) как интеграл, зависящий от параметра . Заметим, что

отношение сохраняет непрерывность и при и обращается при в , так что интеграл (56) является несобственным только вследствие бесконечного предела. При положительных мы имеем следовательно, а интеграл

сходятся, и, следовательно, по доказанному признаку, интеграл сходится равномерно относительно р. Дифференцируя его по под знаком интеграла, получим интеграл

который, в силу также сходится равномерно. Отсюда вытекает, что интеграл (56) есть непрерывная функция от и что его можно дифференцировать под знаком интеграла. Для оправдания всех вычислений упомянутого примера остается еще доказать, что , т. е. что интеграл (56) при фиксированном Р есть непрерывная функция от а справа от нуля. Мы докажем, что он есть непрерывная функция от а при . Выше мы уже показали, что он сходится и при

Не ограничивая общности, можем считать так как случай приводится к случаю простой переменой знака интеграла, в случае же утверждение очевидно.

Будем поступать аналогично тому, как это мы делали в [86] с интегралом Френеля. Разобьем весь промежуток ) на части

такие, что в первой части подынтегральная функция

имеет знак во второй - знак (-) и т. д. Положим

Вводя вместо новую переменную получим

отауда видно, что положительные и убывают при возрастании

Кроме того, из неравенства

следует, что при .

Итак, мы можем представить при наш интеграл в виде суммы знакопеременного ряда

Остаточный член этого ряда, в силу (57) и теоремы [I, 123], имеет оценку

не зависящую от а, причем при . Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда при следовательно (I, 146], непрерывность его суммы, поскольку члены ряда в силу суть, непрерывные функции.

Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда (58) при бел дополнительных рассуждений еще не следует равномерной сходимости интеграла. В данном случае можно доказать, что и интеграл равномерно сходится при а 0.

Заметим, что интеграл

равный у при при и нулю при дает функцию от имеющую разрыв непрерывности при Отсюда вытекает, что написанный интеграл не может сходиться равномерно относительно в промежутка изменения , содержащем Если мы возьмем этот промежуток правее нуля, то величина интеграла у имеет производную по , равную нулю, по интеграл нельзя дифференцировать по под знаком интеграла, так как после такого дифференцирования получается интеграл по промежутку не имеющий смысла.

2. В примере 4 из мы дифференцировали k раз по а интеграл:

под знаком интеграла. Для доказательства законности этой операции досаточно показать, что при целом положительном k интегралы

сходятся равномерно во всяком промежутке где . Так как в промежутке интегрирования то очевидно и в силу доказанного в признака равномерной сходимости нам достаточно доказать сходимость интеграла

Но если обозначить , то, применяя обычным образом правило Лопиталя 11,65), убедимся, что при и по признаку, указанному в [85], видим, что написанный интеграл действительно сходится.

3. В [82] мы получили решение задачи Абеля в виде

Покажем, как можно вычислить производную в правой части этого равенства. Обозначим

Дифференцируя по под знаком интеграла, мы получили бы под знаком интеграла что дало бы расходящийся интеграл [85], а потому надо поступать иначе. Преобразуем интеграл интегрированием по частям, предполагая существование непрерывной и ограниченной в окрестности производной при

Напомним, что . Это будет постоянная, которая будет, вообще говоря, отличной от нуля, тогда как но самому своему определению Дифференцируя написанную выше формулу, мы найдем, в силу (21), из [83]:

Если есть постоянная, то , и мы имеем полученную уже ранее формулу. Если то оказывается

Мы не привели доказательства того, что для несобственного интеграла применима формула (21) из [83]. Заметим, что если вместо ввести новую переменную интегрирования и по формуле: то для получим интеграл с постоянными пределами

Предполагая, как и выше, существование непрерывной и ограниченной производной при , можем, как нетрудно проверить, дифференцировать под знаком интеграла:

Производя в первом слагаемом интегрирование по частям и возвращаясь к прежней переменной получим опять формулу (59).