111. Интегралы по множеству бесконечной меры.

До сих пор мы рассматривали интегралы на измеримых множествах конечной меры. Расширение понятия интеграла на случай множества бесконечной меры производится по существу так же, как и для интеграла Римана 189]. Пусть на измеримом множестве Е бесконечной меры задана измеримая неотрицательная функция Рассмотрим какую-либо возрастающую последовательность множеств конечной меры

для которой Е является предельным множеством [103]. Мы можем, например» считать, что есть произведение Е и промежутка Для ограниченных множеств существуют интегралы

которые в силу неотрицательности не убывают при возрастании .

Предел монотонной последовательности (96) называется интегралом от по Е

и функция называется суммируемой на Е, если указанный предел конечен.

Нетрудно показать, что этот предел не зависит от выбора возрастающей последовательности имеющей Е своим предельным множеством [ср. 89].

Отметим, что интегралы (96) могут равняться . При этом интеграл от по Е также равен Но может случиться, что все интегралы (96) конечны, а предел этой последовательности равен .

Измеримая на функция, не удовлетворяющая условию называется суммируемой на если суммируемы неотрицательные Функции и величина интеграла от на Е определяется формулой

Если только одна из функций или суммируема, то, как и в [108], интеграл от по Е имеет смысл, но его величина равна или

Для интеграла на измеримом множестве бесконечной меры справедливо все сказанное в [108), а также теоремы из [109] и теорема Фубини. Доказательства проводятся в основном следующим образом: сначала используются соответствующие свойства интегралов на множествах или на произведении некоторого множества и множества а затем проводится предельный переход при

Напомним, что при изложении несобственных кратных интегралов Римана мы указали на то, что эти интегралы сходятся абсолютно [89]. Это относится и к интегралам по бесконечным областям, например к интегралу по всей плоскости. Несобственный простой интеграл определялся при помощи предельного перехода

если указанный предел существует (сходящийся интеграл). При этом из сходимости интеграла не следует его абсолютная сходимость.

Указанное выше определение интеграла по множеству Е бесконечной меры таково, что из суммируемости функции на Е следует и ее абсолютная суммируемость, т. е. суммируемость

Если мы для функции, суммируемой на промежутке при любом определим интеграл по промежутку формулой (99), причем указанный в этой формуле предел (конечный) существует, то это определение отлично от указанного выше, и может оказаться, что для предел, входящий в формулу (99), равен