80. Замена переменных в двойном интеграле.

В заключение настоящего параграфа дадим вывод формулы замены переменных в двойном интеграле, указанной нами в [60]. Пусть имеется преобразование переменных

причем мы рассматриваем как прямолинейные прямоугольные координаты точек на плоскости. Формулы (82) дают нам точечное преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку Положим, что мы имеем на плоскости область с контуром и область с контуром Предположим, что: .1) функции (82) непрерывны вместе со своими производными первого порядка в области вплоть до формулы (82) дают биоднозначное соответствие области с контуром и области с контуром т. е. всякой точке из соответствует определенная точка из и, наоборот, точкам точки

3) функциональный определитель от функций (82) по переменным

сохраняет определенный знак в области .

Будем говорить, что соответствие между прямое, если при обходе по против часовой стрелки соответствующая точка обходит тоже против часовой стрелкй. В противном случае, когда обходу по соответствует обход в противоположном направлении по назовем соответствие обратным. Площадь о области (а) выражается интегралом [71]:

где интегрирование совершается против часовой стрелки.

Вводя новые переменные по формулам (82), получим.

Мы уславливаемся интегрировать по против часовой стрелки. Если соответствие прямое, то в результате преобразования и получится именно это направление а потому в формуле (84) надо брать знак Если же соответствие обратное, то на в результате преобразования получится противоположное направление, приписав знак (—), мы можем опять интегрировать против часовой стрелки.

Применим к интегралу (84) формулу Грина (18), полагая При этом получится

и, следовательно,

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем [64], получим

где значение функционального определителя (83) берется в некоторой точке принадлежащей Из последней формулы следует, между прочим, в силу положительности о и что если соответствие прямое, то определитель (83) имеет знак а при обратном соответствии — знак (—).

Перейдем теперь к выводу формулы замены переменных. Пусть функция, непрерывная в области и тем самым в .

Разделим на части: . Этим частям будет соответствовать, в силу (82), разбиение на некоторые части

Будем обозначать теми же буквами и площади этих частей. По формуле (86) имеем

где некоторая точка из т. Ей соответствует некоторая точка и мы можем написать

Переходя к пределу, получим формулу замены переменных в двойном интеграле

которая совпадает с формулой (13) из [60].

Отметим одно следствие формулы (86). Положим, что область беспредельно сжимается к точке . При этом (а) будет беспредельно сжиматься к соответствующей точке и точка принадлежащая будет стремиться к Переходя к пределу, получим из (86)

т. е. отношение площадей будет иметь своим пределом абсолютное значение функционального определителя в соответствующей точке, как мы об этом уже упоминали в [60]. Совершенно так же, если рассматривать функцию одной переменной как точечное преобразование на прямой, при котором точка с абсциссой и переходит в точку с абсциссой то абсолютное значение производном Дает предел отношения соответствующих длин на упомянутой прямой, т. е., иными словами, дает коэффициент линейного искажения в данной точке с абсциссой и при упомянутом точечном преобразовании.

Заметим, что при выводе формулы (85) нам приходится пользоваться второй производной и ее независимостью от порядка дифференцирования. Таким образом, строго говоря, к сделанным в начале настоящего номера предположениям надо добавить еще существование и непрерывность откуда, как известно [I, 165], следует и ее независимость от порядка дифференцирования.

Если область в пространстве, ограниченная поверхностью то, применяя формулу Остроградского [66], можем, полагая выразить объем v этой области в виде интеграла по поверхности:

Пользуясь этим выражением объема, можно доказать формулу вамены переменных в тройном интеграле (63] приблизительно тем же путем, каким мы это сделали выше для двойного интеграла.