130. Уравнения Максвелла.

При рассмотрении электромагнитного поля вводятся следующие векторы: Е и Н—векторы электрической и магнитной сил; r — вектор полного тока; D — вектор электрического смещения; В — вектор магнитной индукции. Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть написаны в виде

где с — скорость света в пустоте.

Первое из уравнений связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через самую поверхность. Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях произвольный замкнутый контур и (S) — поверхность, им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и В связаны с векторами Е и Н:

где - постоянные, называемые диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью среды. Вектор полного тока состоит из двух слагаемых — тока проводимости и тока смещения:

где X — коэффициент проводимости среды. Таким образом окончательно уравнения (88), (89) принимают вид

Интегралы, стоящие в левых частях этих равенств, могут быть по формуле Стокса преобразованы в интегралы по поверхности:

так что уравнения переписываются в виде

Ввиду произвольности поверхности (5), а следовательно, и направления нормали , из последних уравнений вытекает

Эти уравнения и представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Мы имеем здесь шесть дифференциальных уравнений, содержащих шесть составляющих

Непосредственным следствием уравнений в рассматриваемом случае является соленоидальность векторов

ибо их расходимость равна, в силу ,

и, следовательно, обращается в нуль [124].

Но можно доказать еще и то, что сами векторы Е и Н соленоидальны в некоторой части пространства, если они были там таковыми в начальный момент времени.

Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, введем две величины

которые называются плотностями электрического и магнитного заряда Из уравнения

следует

и, интегрируя это линейное уравнение первого порядка, получим [6]

где есть значение при . Стало быть, если в начальный момент времени мы имели , т. е.

то и при всяком t будет т. е.

Точно так же из уравнения (912) следуем

и если , то при всяком

Последнее уравнение равносильно условию равенства нулю магнитного заряда, что обычно и допускается.

Из уравнений Максвелла можно вывести другие уравнения, в которые каждый из векторов Е и Н входит отдельно. Производя операцию над

обеими частями уравнения , мы имеем

или, в силу формулы и уравнения ,

откуда окончательно

Совершенно такое же уравнение получается и для вектора Н.

При отсутствии электрических зарядов, т. е. в случае уравнение (93) перепишется в виде

Это уравнение называется обычно телеграфным уравнением, так как оно было получено впервые при изучении распространения тока по кабелю. Наконец, если мы имеем дело с совершенным диэлектриком, т. е. непроводящей средой, то и уравнение (94) будет:

С уравнением такого вида мы уже встречались в [128].

Если процесс стационарен, т. е. векторы Е и Н не зависят от то уравнение дает т. е. Е есть потенциальный вектор: и первое из уравнений (92) дает

В тех местах, где т. е. где электрические заряды отсутствуют, получим для потенциала уравнение Лапласа .