17. Уравнение у^(n)=f(x).
Уравнение
является непосредственным обобщением уравнения у' = f(x). Выясним сначала форму общего интеграла уравнения (17). Пусть 
есть какое-либо решение уравнения (17), т. е.
Введем в уравнение (17) вместо у новую искомую функцию z по формуле
Подставляя в уравнение (17), получим для z уравнение
или, в силу тождества (18),
Раз производная 
порядка должна быть равна нулю, то сама функция z есть многочлен 
степени с произвольными постоянными коэффициентами
и формула (19) дает общий интеграл уравнения (17)
т. е. общий интеграл уравнения (17) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена 
степени с произвольными постоянными коэффициентами.
Нам остается, таким образом, найти какое-либо частное решение уравнения (17). Считаем, что функция 
непрерывна в промежутке 
, содержащем некоторую точку 
и будем искать то решение, которое удовлетворяет пулевым начальным условиям:
Интегрируя уравнение (15) почленно от значения 
до переменного значения 
получим
где есть значение 
и при 
В силу последнего, из условий 
, и мы будем иметь
Интегрируя правую часть по 
еще раз в пределах от 
до 
получим 
и т. д. и, наконец, после 
интегрирования получим искомую функцию. Это повторное интегрирование обычно записывают так:
Эти 
повторных квадратур можно заменить одной, как мы сейчас покажем.
Напишем для 
формулу Тейлора с остаточным членом в виде интеграла [I, 126]:
где 
значения у и его производных при 
и буква t обозначает просто переменную интегрирования. В силу начальных условий (20)
а, в силу дифференциального уравнения 
, так что вышеуказанная формула Тейлора дает
Итак, формула (22) дает решение уравнения (17) при нулевых начальных условиях (20) или, что то же, дает выражение повторного интеграла (21) в виде однократного интеграла.
Прибавляя к решению (22) многочлен 
степени с произвольными коэффициентами, получим общий интеграл уравнения (17). Заметим, что в правой части формулы 
входит как в верхний предел интеграла, так и под знак интеграла. Интегрирование совершается по t, и при этом х считается постоянным. Формула (22) справедлива, очевидно, и при 
если считать 
.
