98. Интегрируемые функции.

Пусть - ограниченная квадрируемая область или открытое множество и ограниченная функция, определенная на и ее границе. Разобьем на конечное число квадрируемых областей (или открытых множеств) , как это указано в [96]. Пусть — это разбиение и меры множеств так что точка, принадлежащая множеству или его границе, диаметр и наибольшее из чисел Функция называется интегрируемой по (а), если существует определенный предел сумм

при стремлении к нулю [ср. I, 116]. Этот предел называется интегралом от функции по :

Пусть точная нижняя и точная верхняя границы значения на (включая границу). Составим суммы

которые зависят только от разбиения . Имеет место очевидное; неравенство

Пусть точная верхняя граница значений точная нижняя граница значений при всевозможных разбиениях . Имеем [I, 115]

Как и в [I, 116] можно показать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции заключается в том, что разность

стремится к нулю, если стремится к нулю.

Если это условие выполнено, то и величина интеграла равна . Можно показать, что при для любой ограниченной функции и отсюда следует, что равенство является не только необходимым, но и достаточным условием существования интеграла от . Если то сумма a (6) равна площади (мере) :

Используя указанное выше условие интегрируемости, можно указать некоторые классы интегрируемых функций:

1. Если непрерывна на замыкании (а) ограниченного открытого множества (а), то она интегрируема. Это доказывается совершенно так же, как и в

2. Если множество точек разрыва ограниченной функции имеет меру нуль, то интегрируема.

Будем для простоты считать, что (R) лежит строго внутри (а). Пусть задано Из того, что следует, что (R) можно заключить строго внутрь множества типа (а), лежащего внутри (а), мера которого меньше . Пусть - граница (Г). Мера очевидно, равна пулю, и мы можем заключить внутрь множества типа (а), лежащего внутри , площадь которого так же, как и меньше . Пусть — расстояние от до границы . Отметим, что если (а) разбита на части, и диаметр каждой из частей меньше то сумма площадей тех из частей, которые имеют общие точки с меньше е. Если мы выделим из (а) внутреннюю часть , то на оставшемся замкнутом множестве функция равномерно непрерывна, и, следовательно, существует такое что колебание на всяком множестве, принадлежащем диаметр которого меньше меньше .

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые мы применили в можно показать, что если меньше , то

где — мера (а), а — точные нижняя и верхняя границы значений на , включая границу. Ввиду произвольности е отсюда следует, что интегрируема на (а).

Как и в можно доказать основные свойства интегрируемых функций:

1. Если интегрируема на (а) и мы изменим значения на множестве (R) меры нуль, сохраняя ограниченность функции, то и новая функция интегрируема и величина интеграла при этом не изменится.

2. Если интегрируемо на (а) и разбита на конечное число квадрируемых областей или открытых множеств , то интегрируема по каждой и интеграл по равен сумме интегралов по

Отметим еще, что из интегрируемости по всем следует и интегрируемость по (а). Остаются справедливыми и остальные свойства интегрируемых функций, указанные в [I, 117]: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций, интегрируемость абсолютного значения интегрируемой функции и теорема о среднем.

Отметим еще, что, поскольку граница квадрируемой области или открытого множества имеет меру нуль, значения ограниченной функции на не влияют на величину интеграла.