100. n-кратные интегралы.

Все сказанное в и [97] переносится непосредственно на случай -мерного пространства и приводит к понятию интеграла от ограниченной функции по ограниченной измеримой -мерной области, к указанному выше условию интегрируемости и к обычным свойствам интегралов. Точно так же, аналогично [991, имеет место формула приведения -кратного интеграла к повторному, содержащему квадратур. Формулу эту можно доказать путем индукции, изменяя на единицу. Пределы в кратном интеграле вычисляются из тех неравенств, которыми определяется область интегрирования. Пусть непрерывная функция в замкнутой квадрируемой области -мерного пространства, внутренние точки которой определяются условиями: точки суть внутренние точки некоторой измеримой области из -мерного пространства и удовлетворяет неравенствам

где непрерывные функции в При этом -кратпый интеграл выразится квадратурой по и -кратным интегралом по :

Обобщением прямоугольника плоскости со сторонами, параллельными осям, является призматоид -мерного пространства, определяемый неравенствами:

Интегрирование по этому призматоиду приводится к повторному интегралу, все пределы которого постоянны:

и можно менять произвольно порядок интегрирования, оставляя по каждой переменной прежние пределы.

Для читателя, знакомого с понятием определителя, укажем и формулу замены переменных в -кратном интеграле. Положим, что вместо переменных вводятся новые переменные и пусть

- формулы, выражающие старые переменные через новые.

Введем в рассмотрение так называемый функциональный определитель системы функций (21):

Формула замены переменных имеет вид

где неравенства, определяющие новую область интегрирования получаются из неравенств, определяющих если там заменить их выражениями (21). Условия применимости формулы (23) те же, которые были указаны для двойного интеграла в [80]. Несобственные -кратные интегралы определяются так же, как и несобственные Двойные и тройные интегралы [89]. Перейдем теперь к примерам.