160. Общие ортогональные системы функций.

Большинство проведенных рассуждений настоящей главы основывалось не на конкретных свойствах тригонометрических функций, но лишь на свойстве ортогональности функций семейства (4). Поэтому эти рассуждения применимы для любого семейства ортогональных функций. Такие семейства, как мы увидим, часто встречаются в задачах математической физики. Пусть у нас имеется семейство вещественных функций в промежутке для определенности будем считать эти функции непрерывными:

Мы предполагаем, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю.

Говорят, что функции семейства (41) ортогональны, если

Интеграл от квадрата каждой функции семейства (41) будет равняться некоторой положительной постоянной. Введем следующие обозначения для этих постоянных:

Если к каждой функции семейства (41) добавим численный множитель то новые функции

в силу (42) и (43), будут удовлетворять не только условиям ортогональности, но и интеграл от квадрата каждой функции будет равен единице, т. е.

При этом систему

называют обычно ортонормированной.

Пусть функция непрерывная или с конечным числом разрывов первого рода на промежутке . Числа

называются обобщенными коэффициентами Фурье или просто коэффициентами Фурье функции относительно ортонормированной системы (45), а ряд

рядом Фурье функции

Без дополнительных предположений относительно и функций системы (45) ничего нельзя утверждать о сходимости этого ряда или о его сумме, если он сходится.

Напишем выражение для средней квадратичной погрешности при представлении заданной функции конечной суммой вида

Квадрат ее выражается в виде

Мы не пишем множителя перед знаком интеграла. Принимая во внимание (44) и (45), получим, как и в [159]:

откуда непосредственно следует, что имеет наименьшее значение, которое мы обозначим при

Отсюда, как и выше, следует неравенство

которое называется обычно неравенством Бесселя. Основным является вопрос, будет ли стремиться к нулю при причем стремление ел к нулю равносильно тому, что в (48) мы имеем знак равенства, т. е.

Уравнение это называется уравнением замкнутости для по отношению к системе функций (45). Эта система называется замкнутой, если уравнение (49) справедливо для любой непрерывной функции и для любой функции с конечным числом разрывов первого рода. Заметим, что если это так, то можно доказать, что уравнение (49) справедливо и для гораздо более широкого класса функций.

Доказательство уравнения замкнутости для разнообразных систем ортогональных функций было дано в работах В. А. Стеклова. В этих же работах было выяснено важное значение уравнения замкнутости в теории ортогональных систем. Доказательство уравнения замкнутости для тригонометрических рядов впервые было дано А. М. Ляпуновым.

Вернемся к семейству функций

Эти функции обладают свойством ортогональности на промежутке , но они не нормированы, т. е. интегралы от квадратов их не равны единице. Из вышеизложенных вычислений [154] следует, что в данном случае ортонормированным будет семейство функций

Положим, что ортонормированная система (45) замкнута, и покажем, что при этом не существует непрерывной функции (кроме равной тождественно нулю), которая была бы ортогональна по всем функциям семейства (45). Действительно, пусть - такая функция:

т. е. все коэффициенты Фурье функции равны нулю. При этом из уравнения замкнутости (49) следует, что

и из этого равенства, поскольку предположена непрерывной, следует, что Обратное утверждение не имеет места, т. е. из того факта, что нет непрерывной функции (кроме тождественного нуля), ортогональной ко всем функциям системы (45), не следует, что эта система замкнута. Мы рассмотрим еще этот вопрос в следующем параграфе, когда будем излагать теорию ортонормированных систем для измеримых функций с использованием интеграла Лебега.

Вернемся к замкнутой ортонормированной системе (45), и пусть функции непрерывные или с конечным числом разрывов первого рода на Через обозначим коэффициенты Фурье этих функций. Для их суммы коэффициенты Фурье равны

Мы можем написать три уравнения замкнутости

Раскрывая в последней формуле скобки и принимая во внимание две первые формулы, получим

Из очевидного неравенства

непосредственно следует абсолютная сходимость ряда, входящего в формулу (50). Формула (50) называется обобщенным уравнением замкнутости. Если то и формула (50) переходит в формулу (49). Укажем одно интересное следствие формулы (50). Положим, что есть какая-либо часть промежутка или весь этот промежуток, и определим функцию следующим образом: при и во всех других точках промежутка . При этом имеем

и формула (50) дает

Как мы уже упоминали, без дополнительных сведений о системе функций (45) и функции ничего нельзя сказать о сходимости ряда Фурье функции и его сумме, если он сходится. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:

Теорема 1. Если ортонормированная система (45) замкнута, то ряд Фурье любой непрерывной функции или функции с конечным числом разрывов первого рода на почленно проинтегрированной по любому промежутку содержащемуся в сходится и его сумма равна интегралу от по

Докажем еще следующую теорему:

Теорема 2. Если ортонормированная система (45) замкнута и если ряд Фурье функции непрерывной на промежутке равномерно сходится на этом промежутке, то его сумма равна

Пусть коэффициенты Фурье По условию, ряд равномерно сходится при и его сумма есть тем самым непрерывная функция на этом промежутке:

Нам надо доказать, что Умножим обе части последнего равенства на и проинтегрируем их по промежутку . В силу равномерной сходимости мы можем интегрировать ряд почленно:

и из формул (44) следует

т. е. числа являются коэффициентами Фурье не только но и Таким образом, все коэффициенты Фурье непрерывной функции равны нулю, и, в силу замкнутости системы, можно утверждать, как мы показали выше, что

Изложенная теория без изменения переносится на случай системы функций многих переменных, ортонормированных в какой-либо конечной области плоскости, трехмерного или вообще -мерного пространства. Сказанное выше обобщается легко и на случай комплексных функций где вещественные функции. В дальнейшем через а мы будем обозначать величину, комплексносопряженную а. Система комплексных функций

называется ортонормированной, если

коэффициенты Фурье функции определяются формулой

Формула (47), неравенство Бесселя (48), уравнение замкнутости (49) и обобщенное уравнение замкнутости имеют вид