36. Предельные задачи.

Мы рассматривали выше задачу интегрирования дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В дальнейшем мы часто будем встречаться с задачами, в которых заданы не начальные условия, а условия на обоих концах того промежутка, в котором рассматривается задача интегрирования уравнения. Такого типа условия называются обычно граничными или предельными условиями. Их число должно равняться порядку уравнения. Выясним некоторые основные факты для задач с предельными условиями для случая линейных дифференциальных уравнений. Предварительно напомним некоторые сведения о системах линейных алгебраических уравнений.

Пусть имеется два уравнения с двумя неизвестными

или

Система (89) называется обычно однородной. При решении написанных систем имеют место следующие два случая: 1) если , то система (88) имеет решение и притом единственное при любых свободных членах а однородная система (89) имеет только нулевое решение если то однородная система (89) имеет ненулевые решения, а система (88) имеет решение не при всяких свободных членах, и если она имеет решения, то число решений бесконечно. Скажем подробнее о втором случае. Пусть ненулевое решение системы (89). Нетрудно видеть, что , где с — произвольная постоянная, также является решением системы (89). Если свободные члены в системе (88) таковы, что эта система имеет решения то формулы при любом с дают также решение системы (88). Совершенно аналогичные обстоятельства имеют место и для линейных уравнений с неизвестными: или однородная система (со свободными членами, равными нулю) имеет только нулевое решение и при этом неоднородная система имеет решение и притом единственное при любых свободных членах, или однородная система имеет решения, отличные от нулевого, и при этом неоднородная система имеет решения не при любых свободных членах, и если имеет решения, то число решений бесконечно. В дальнейшем мы будем часто встречаться с альтернативой такого рода. Полное исследование систем линейных алгебраических уравнений будет изложено в первой части третьего тома.

Рассмотрим общую схему решения предельной задачи для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными предельными условиями. Пусть имеется уравнение вида

где - функции, непрерывные в конечном промежутке численный параметр, который может принимать различные значения. Положим, что на концах указанного промежутка заданы однородные предельные условия

или более общие

где — численные коэффициенты.

Введем в рассмотрение какие-либо линейно независимые решения уравнения (90). Они зависят, очевидно, не только от независимой переменной х, но и от того, какое значение имеет параметр X, и мы обозначим их через Общее решение уравнения (90) имеет вид

и предельные условия (91) приводят нас к однородной системе для Q и :

Эта система имеет, очевидно, нулевое решение которому соответствует нулевое решение задачи (90), (91). Если X Еыбрано так, что система (94) имеет только нулевое решение, то и предельная задача (90), (91) имеет только нулевое решение. Если же X удовлетворяет уравнению

то система (94) имеет решение, отличное от нулевого, и, подставляя значение в формулу (93), получим в этом случае ненулевое решение задачи (90), (91). При таких X функция будет удовлетворять уравнению (90) и условиям (91) Это решение можно умножать на произвольную постоянную, т. е. также будет решением задачи (90), (91). Других решений при выбранном X задача не будет иметь, ибо все решения, имеющие корень линейно зависимы. Таким образом, если X не есть корень уравнения то задача (90), (91) не имеет решений, отличных от нулевого. Если же X — корень уравнения (95), то эта задача имеет решение отличное от нулевого, и это решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя. Корни уравнения (95), т. е. те значения которых задача (90), (91) имеет решение отличное от нулевого, называются обычно собственными значениями этой задачи, а решения собственными функциями задачи, соответствующей указанному собственному значению. Совершенно аналогично можно рассмотреть и случай предельных условий вида (92),

Если же рассмотрим неоднородное уравнение

при неоднородных предельных условиях

то,обозначая по-прежнему через линейно независимые решения уравнения (90), мы придем к неоднородной системе для и Q, левые части которой совпадают с левыми частями уравнений (94). Если X не есть собственное значение задачи (90), (91), т. е. однородная система имеет только нулевое решение, то неоднородная задача (96), (97) имеет при любых решение и притом единственное.

Для линейных дифференциальных уравнений четного порядка естественно ставить предельных условий при а и столько же при При этом вместо системы (94) мы получим систему уравнений для неизвестных