39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Обозначая символическим множителем D операцию дифференцирования вводя полином

можем написать уравнение в виде

Составим хаактеристическое уравнение соответствующее уравнению (119):

и пусть это уравнение имеет корни кратности :

Разлагая полином на множители, можем представить уравнение (120) в виде

Уравнение

согласно формуле имеет общее решение

где — многочлен степени с произвольными коэффициентами.

Функция (125) будет, очевидно, решением и уравнения (123). Действительно, подставляя в это уравнение выражение (125), в результате операции получим нуль, и операция

произведенная над нулем, даст очевидно также нуль. Переставляя множители, мы могли бы поставить ближайшим к х не множитель а какой-либо другой множитель Таким образом мы убеждаемся в существовании ряда частных решений:

где многочлен степени с произвольными коэффициентами.

Придавая в формуле (126) все значения от 1 до и складывая все полученные таким образом решения, будем иметь решение уравнения (123) [27]:

Всякий многочлен степени с произвольными коэффициентами содержит всего произвольных постоянных, и следовательно, в силу соотношения решение (127) содержит всего произвольных постоянных. Ввиду этого обстоятельства можно думать, что формула (127) дает общее решение уравнения (119), т. е. что всякое решение этого уравнения заключается в формуле (127).

При это было нами доказано выше формулой (118) из [38] и, таким образом, остается показать, что еслст наше утверждение справедливо для случая сомножителей вида оно будет справедливо и для сомножителей. Докажем это.

Уравнение (123) можно переписать в виде

где

Мы считаем доказанным наше утверждение для сомножителей, а потому для у имеем общее решение

где — произвольные многочлены степени Полагая

вынося за знак символического полинома и деля обе части равенства на получим

Мы получим общее выражение для z, если проинтегрируем правую часть раз по t и добавим многочлен степени . Но, как известно [I, 201], интеграл от произведения показательной функции на многочлен степени от t имеет тот же , т. е. должно иметь вид

В силу (128) получаем, что должен обязательно иметь вид, даваемый формулой (127), что и требовалось доказать.

В частности, если все корни характеристического уравнения простые, то все многочлены будут нулевой степени т. е. будут просто произвольные постоянные и общее решение уравнения будет иметь вид

Среди корней уравнения (121), коэффициенты которого мы считаем вещественными, могут быть и комплексные. Соответствующие им слагаемые в решении (127) нетрудно привести к вещественному виду, преобразуя показательные функции в тригонометрические, Положим что уравнение (121) имеет пару мнимых сопряженных корней кратности k. Им соответствует решение вида

где многочлены степени (k — 1) с произвольными коэффициентами» Подставив

получим решение вида

где многочлены степени с произвольными коэффициентами, связанные с формулами

Из сказанного вытекает следующее правило [32]: чтобы проинтегрировать уравнение (119), надо составить соответствующее ему характеристическое уравнение (121) и найти его корни. Всякому вещественному корню кратности k будет соответствовать решение вида

где многочлен степени с произвольными коэффициентами; всякой паре мнимых сопряженных корней кратности k соответствует решение вида

где многочлены степени с произвольными коэффициентами. Складывая все таким образом полученные решения, будем иметь общее решение уравнения . В случае простых корней упомянутые полиномы суть произвольные постоянные.