34. Собственные и вынужденные колебания.

Рассмотрим однородное уравнение

соответствующее тому случаю, когда отсутствует внешняя сила. Решение этого уравнения определяет свободные, или, как говорят, собственные колебания. Соответствующее характеристическое уравнение будет

Дальнейшее исследование разобьем на отдельные случаи.

1. Затухающее колебание. В большинстве случаев коэффициент сопротивления h невелик по сравнению с коэффициентом восстановления так что разность есть число отрицательное: . В этом случае уравнение (55) имеет мнимые сопряженные корни и мы имеем общий интеграл уравнения (54)

Полагая

преобразуем решение (56) к виду

или, полагая

Здесь есть период свободных колебаний, А — начальная их амплитуда и начальная фаза. Если не принимать в расчет сопротивление среды, т. е. положить то уравнение (55) будет иметь корни и вместо (58) получим

Это будет чисто гармоническое колебание с периодом Формула (59) дает затухающее колебание [I, 69], причем множитель характеризует быстроту затухания. В промежуток времени, равный периоду, амплитуда уменьшается в отношении Значения постоянных С, и в формуле (56) или, что то же, постоянных

в формуле (58) зависят от начальных условий. Положим, что начальные условия будут

Подставляя в формулу получим . Дифференцируем формулу (56) по

откуда, подставляя , получим

и окончательно решение, удовлетворяющее начальным условиям (61), будет

Заметим, что в решении (63) коэффициент затухания h и частота колебания определяются вполне по коэффициентам уравнения (54). Что же касается амплитуды А и начальной фазы то они зависят от начальных условий, и, в силу (57), мы можем написать равенства

из которых и определяются. Если , то везде надо заменить на

2. Апериодическое движение. Если разность к будет положительной:

то корни уравнения (55) будут

и мы имеем [28]:

При этом очевидно, что и оба корня (64) отрицательны, а потому стремится к нулю при беспредельном возрастании t. Дифференцируем равенство (65) по

Полагая в равенствах (65) и получим два уравнения для определения постоянных через начальные данные (61):

откуда

3. Специальный случай апериодического движения. Если, наконец, , то уравнение (55) имеет кратный корень , и окажется [28]:

Ввиду того, что при беспредельном возрастании t функция стремится к нулю [I, 66], выражение (67) также стремится к нулю. Неоднородное уравнение

в котором свободный член происходит от внешней силы, определяет вынужденные колебания. В случае чисто гармонического собственного колебания

мы имеем общий интеграл этого уравнения [29]:

причем последнее слагаемое справа дает чисто вынужденное колебание, т. е. решение уравнения (69), удовлетворяющее нулевым начальным условиям

Пользуясь тем же методом изменения произвольных постоянных, можно показать, что в том случае, когда собственное колебание есть затухающее колебание, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (70), будет

и в апериодическом случае это частное решение будет

Предоставляем сделать это читателю.