§ 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

81. Интегрирование под знаком интеграла.

При вычислении кратных интегралов мы встретились с определенными интегралами, у которых подынтегральная функция и даже пределы интегрирования зависят от некоторого переменного параметра. Здесь мы остановимся несколько подробнее на таких интегралах.

Мы исследуем интеграл

в котором переменная интегрирования обозначена через подынтегральная же функция зависит не только от но и от параметра у, от которого зависят и пределы интегрирования . В этом случае очевидно и результат интегрирования будет, вообще говоря, функцией от у. Формула (7) из [59]:

называется формулой интегрирования определенного интеграла по параметру под знаком интеграла. Она получает особенно простой вид, когда пределы не зависят от у и приводятся к постоянным числам а, b [69]:

Во всех этих формулах подынтегральная функция считается непрерывной функцией двух переменных в области интегрирования, а эта область считается конечной.

Пример. Указанный выше прием применяется иногда для вычисления определенных интегралов от функций, для которых неопределенный интеграл неизвестен. Применим его для вычисления интеграла Лапласа:

Рис. 67.

Пусть четверть круга с центром в начале и радиусом , лежащая в первом координатном углу, квадрат, ограниченный прямыми и, наконец, четверть круга с центром в начале и радиусом (рис. 67). Очевидно есть часть часть Возьмем двойной интеграл по этим областям от положительной функции Имеем очевидные неравенства

Вводя полярные координаты: , получим [59]

Заменяя на будем иметь

Интегрирование по квадрату даст

и написанное выше неравенство принимает

При стремлении к бесконечности крайние члены неравенства стремятся к а следовательно, к тому же пределу должен стремиться и средний член, откуда вытекает следующее значение для интеграла (3):

Нетрудно видеть, что [I, 96]

Если пользоваться несобственным интегралом по всему первому координатному углу, который мы обозначим через (Р), то результат получится непосредственно. Действительно

и вводя полярные координаты:

откуда что и совпадает с полученным выше результатом.