171. Улучшение сходимости рядов Фурье.

Как мы видели в предыдущем, присутствие в выражении для коэффициентов Фурье функции членов порядка которые делают ряд Фурье плохо сходящимся, обусловливается наличием скачков у функции Функция может иметь сколько угодно производных внутри промежутка но достаточно одного скачка в конце промежутка, т. е., собственно говоря, несовпадения предельных значений , чтобы ряд Фурье этой функции стал практически негодным для вычисления. Далее, в приложениях очень часто важно исследовать не функцию разложенную в ряд Фурье, а ее производные первого, второго и даже третьего порядка. Между тем, если коэффициенты Фурье самой функции порядка , то при дифференцировании ряда

коэффициенты будут уже порядка что ясно из равенств

Обратно, при каждом интегрировании порядок коэффициентов будет повышаться на единицу, ибо

где С — произвольная постоянная.

Таким образом при дифференцировании сходимость ряда Фурье ухудшается; так, например, если коэффициенты Фурье функции f(x) были порядка что будет в том случае, если эта функция непрерывна и периодична, может иметь точки разрыва, то ряд, который получится почленным дифференцированием для вычисления будет иметь коэффициенты порядка а ряд для совсем потеряет смысл, так как его коэффициенты будут даже стремиться к нулю. Таким образом может оказаться, что ряд Фурье функции совершенно не годится для вычисления производных от функции ни при каких значениях и это произойдет для такой функции, которая лишь в одной точке промежутка не имеет производной, а во всех остальных имеет таковые и любого порядка.

Поэтому возникает задача улучшения сходимости ряда Фурье, т. е. преобразование его к такому ряду, коэффициенты которого настолько высокого порядка малости, что ухудшение сходимости при дифференцировании не мешает вычислять производные; например, если мы желаем беспрепятственно вычислять почленным дифференцированием производные до третьего порядка включительно, то желательно, чтобы коэффициенты ряда были порядка не ниже ибо тогда для третьей производной получим ряд, коэффициенты которого будут иметь порядок и вычисление с этим равномерно сходящимся рядом будет практически удобно.

Улучшить сходимость ряда Фурье функции можно следующим образом. Пусть в формулах (44) имеются члены порядка , т. е. функция имеет скачки

Всегда можно построить простую вспомогательную функцию которая имеет те же скачки, что и Тогда разность

не будет уже иметь скачков, и ряд Фурье для функции будет иметь коэффициенты порядка, по крайней мере За проще всего брать функцию, график которой есть «ступенчатая линия», т. е. состоит из отрезков, параллельных оси ОХ, или вообще из отрезков прямых, иричем в первом случае

а во втором, если мы будем считать угловые коэффициенты всех отрезков одинаковыми и равными то

и таким образом функция имеет те же самые скачки, что и . Определив так или иначе функцию мы получим

где известная и весьма простая функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, имеет ряд Фурье, коэффициенты которого имеют порядок не ниже 2. Исправляем теперь функцию имеем

Поступая с так же, как мы выше поступали с мы можем написать

где функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, и разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого порядка не ниже Интегрируя последнее равенство, получим для и тем самым для выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже и кусков парабол второй степени. Если бы мы занялись дальше исправлением то получили бы для выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже и кусков парабол третьей степени и т. д.

Изложенный способ применяется главным образом тогда, когда функция неизвестна, а дан только ряд Фурье, причем его коэффициенты имеют вид (44). При этом надо по виду коэффициентов определить точки разрывов и скачки функции и ее производных, а затем применить указанный выше прием улучшения сходимости.

Можно поступить и иначе, а именно: если возможно просуммировать те части ряда Фурье, которые происходят от первых слагаемых выражений (44) для коэффициентов Именно эти слагаемые и создают плохую сходимость ряда Фурье. Оставшийся после суммирования ряд Фурье будет уже сходиться лучше, чем раньше.

При упомянутом выше суммировании надо пользоваться следующими формулами;

Первая из написанных формул получается, если разложить функцию в промежутке (0, к) по синусам. Вторая получается из первой путем интегрирования по от 0 до причем надо пользоваться равенством

Точно так же и третья формула получается из второй путем интегрирования. Дальнейшее интегрирование могло бы нам дать и дальнейшие формулы указанного выше типа. При этом мы считаем длину промежутка равной п. Этого всегда можно достигнуть простым преобразованием независимого переменного.

Указанная выше идея улучшения сходимости ряда Фурье путем постепенного исправления функции и ее производных так же, как и приведенный ниже пример, принадлежат А. Н. Крылову.