ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

25. Линейные однородные уравнения второго порядка.

Теория линейных дифференциальных уравнений является наиболее простой и разработанной частью теории дифференциальных уравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях В [6] мы решали линейные уравнения первого порядка. В настоящей главе мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и качнем с уравнений второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где через мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных :

Если есть решение уравнения, т. е. то, очевидно, , т. е. и есть также решение уравнения. Точно так же, если и суть решения, то

есть также решение при произвольных постоянных т. е. решения линейного однородного уравнения (1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и для линейного однородного уравнения любого порядка.

Теорема существования и единственности для уравнения (1) формулируется особенно просто, как это мы покажем в конце этой главы: если непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

где — любые заданные числа, и это решение существует на всем промежутке

Если фиксировать и придавать всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все решения уравнения (1). Во всех этих решениях функции непрерывны вплоть до концов промежутка и предельные значения при суть производные — справа, а при производные слева

В дальнейшем мы в аргументах не будем писать Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1) на промежутке непрерывности коэффициентов

Уравнение (1) имеет очевидное решение (нулевое решение). Ему соответствует . В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения. Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть — два решения уравнения. Рассмотрим следующее выражение, составленное из них:

Оно называется определителем Вронского решений . Для него имеет место следующая замечательная формула:

где — постоянная, равная, очевидно, значению при доказательства вычисляем производную

Принимая во внимание, что суть решения уравнения (1), можем написать

Умножая первое уравнение на второе на и складывая почленно, получим

и, следовательно,

Это есть линейное однородное уравнение относительно у и, применяя формулу (29) из [6], получаем формулу (5). Из этой формулы непосредственно следует, что определитель или тождественно на промежутке I равен нулю, если постоянная равна нулю, или не равен нулю ни при одном из I, так как показательная функция в нуль не обращается. Напомним, что считается непрерывной на I функцией.

Два решения уравнения (1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми, если не существует тождественного относительно на промежутке соотношения

с постоянными коэффициентами и отличными от нуля. Если такое соотношение имеется, то решения называются линейно зависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, например равен нулю и то из (3) следует , а это противоречит тому, что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует естественность требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная зависимость решений выражаемая тождеством (6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем где постоянная С отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: из двух соотношений

непосредственно следует, что определитель Вронского двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю. Положим теперь наоборот, что определитель Вронского тожде ственно равен нулю, и покажем, что при этом решения линейно зависимы. Фиксируем такое значение при котором и напишем два уравнения, содержащие постоянную С, обозначая через значения и их производных при

Из первого уравнения и, подставляя это во второе уравнение, убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что равно нулю тождественно, и в частности при Таким образом, решение уравнения (1) удовлетворяет начальным условиям (3) при есть нулевое решение, откуда и следует, что или

Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений т. е. два решения уравнения (1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от нуля.

Отметим еще следующую очевидную формулу для производной от частного двух решений:

Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где обращается в нуль.

Покажем теперь, что если — линейно независимых решения уравнения (1), то при надлежащем выборе постоянных Q и формула (2) дает нам решение уравнения (1), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям

Опять через обозначим значения и их первых производных при Чтобы удовлетворить начальным условиям (8), надо определить в формуле (2) из системы уравнений

Из линейной независимости вытекает, что

и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения Q и С что доказывает наше утверждение.

Но в силу теоремы существования и единственности [2] всякое решение уравнения (1) вполне определяется своими начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если два линейно независимых решения уравнения (1), то формула (2) дает все решения этого уравнения.

Таким образом, задача интегрирования (1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть одно из решений этого уравнения — какое-либо его решение. Интегрируя соотношение (7), получим

т. е. если известно одно частное решение уравнения (1), то второе его решение может быть получено по формуле (9), где — постоянная, которую можно положить и равной единице.

Надо сказать, что найти это одно решение в конечном виде или даже при помощи квадратур в общем случае, когда функции от оказывается невозможным. Для некоторых частных случаев и, между прочим, в том случае, когда суть постоянные, а не функции от решения, как мы увидим, получаются в конечном виде.

В дальнейшем мы укажем также один способ построения решений, часто применяемый в приложениях, а именно построение решения в виде бесконечного ряда.