76. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.
Так же как и на плоскости, условие независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве совпадает с условием, 
интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Рассмотрим иитеграл
Пользуясь формулой Стокса (22), можно доказать так же, как и в предыдущем, что необходимые и достаточные условия незави симости интеграла (38) от пути выражаются тремя тождествами:
Если эти условия выполнены, то можно построить функцию точки 
причем совершенно так же, как и раньше, можно показать, что
Кроме того, условия (39) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение 
было полным дифференциалом некоторой функции 
и, если эти условия выполнены, то 
определяется по формуле
где С — произвольная постоянная.
Рис. 66.
Понятие многосвязной области в пространстве представляет некоторые особенности. В качестве примера рассмотрим область образованную внутренностью сферы, из которой выделены две трубки (I) и (II), концами упирающиеся в поверхность сферы, как это указано на рис. 66. Если возьмем замкнутый контур 
обходящий вокруг трубки (1), то на него нельзя натянуть поверхность, которая бы заключалась в области (D), и, следовательно, если даже в области (D) условия (39) и выполнены, то все же нельзя к (4) применять формулу Стокса, и величина интеграла (38) по (А) будет, вообще говоря, отлична от нуля. Но эта величина не будет зависеть от вида 
. Важно лишь, что 
есть замкнутый контур в (D), обходящий вокруг одной трубки (I). Таким образом получится циклическая постоянная
для трубки (I). Совершенно так же будем иметь вторую циклическую постоянную 
для второй трубки (II). Функция 
определяемая по формуле (40), в этом случае есть многозначная функция и содержит неопределенное слагаемое 
, где 
— любые целые числа.
Заметим, что если область (D) есть часть пространства между двумя концентрическими сферами, и в этой области выполнены условия (39), то никаких циклических постоянных не будет, и функция (40) будет однозначной. Действительно, геометрически ясно, что на всякий замкнутый контур, находящийся в (О), можно в данном случае натянуть поверхность, также находящуюся в (D), а потому ко всякому замкнутому контуру в (О) применима формула Стокса (22), и из условия (39) вытекает равенство нулю интеграла по такому контуру.
Пример. Рассмотрим угол 
, входящий в систему цилиндрических и сферических координат
и определим Р и О по формулам (37), Эти выражения принимают неопределенную форму 
вдоль всей оси OZ. При рассмотрении криволинейного интеграла в пространстве
придется исключить трубку, идущую вдоль оси OZ, или просто саму ось, и величина написанного интеграла по любому замкнутому контуру вокруг такой трубки даст циклическую постоянную 
