§ 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

91. Предварительные понятия.

При изложении теории простого и кратного интегралов мы исходили из интуитивного представления площади и объема. В настоящем параграфе мы дадим обоснование этих понятий и строгое изложение основ теории кратных интегралов. Отсюда будет, естественно, следовать и теория простого (однократного) Интеграла. Теория измерения длин, площадей и объемов называется обычно общим термином — теория меры. Сначала мы изложим более элементарную теорию меры — так называемую меру Жордана

(французский математик второй половины XIX начала XX веков), связанную с понятием интеграла Рамана, которым мы пользовались в настоящей главе. В настоящее время она уже не играет большой роли в математическом анализе, и мы приводим ее для того, чтобы дать законченное теоретическое изложение интеграла Римана.

Далее мы переходим к теории меры Лебега (французский математик первой половины XX века), которая связана с новым понятием интеграла — с интегралом Лебега.

Этот и следующий номера содержат некоторые сведения о множествах точек, необходимые как для теории Жордана, так и для теории Лебега. Рассматриваются в основном множества на плоскости, но все сказанное легко переносится на случай прямой и трехмерного пространства.

Мы будем пользоваться геометрической терминологией (точка, линия, область и т. д.), но в основе будет лежать арифметизированная плоскость, в которой точка определяется парой чисел координатами.

Назовем -окрестностыо точки круг с центром М и радиусом , т. е. множество тех точек координаты которых удовлетворяют неравенству

Будем рассматривать множества точек на плоскости, содержащие конечное или бесконечное число точек. В первом случае множество называется конечным, а во втором — бесконечным. Пусть Е — бесконечное множество. Введем некоторые важные для дальнейшего понятия. Точка М называется предельной точкой множества ZF, если любой -окрестности М принадлежит бесконечное число точек Сама точка М может как принадлежать, так и не принадлежать Е. Конечное множество, очевидно, не имеет предельных точек.

Множество Е называется ограниченным, если все его точки принадлежат некоторому квадрату; со сторонами, параллельными осям. В следующем номере мы покажем, что всякое бесконечное ограниченное множество имеет по крайнем мере одну предельную точку. Множество Е, содержащее все сноп предельные точки, называется замкнутым множеством. Если Е не имеет предельных точек, то его также естественно называть замкнутым. Точка принадлежащая Е, называется внутренней точкой если этому множеству принадлежат все точки некоторой -окрестности точки М. Открытым множеством называется множество Е, все точки которого суть внутренние точки, и областью (открытой областью) — такое открытое множество что любые две точки Е можно соединить ломаной линией (состоящей из конечного числл отрезков прямых), все точки которой принадлежат Е. Отметим, что иногда вместо термина «открытое множество» применяют термин

«область», и при этом вышеуказанный термин «область» заменяют термином «связная область». Мы будем применять указанную выше терминологию.

Внутренние точки квадрата образуют область, а внутренние точки двух квадратов, не имеющих общих точек, образуют открытое множество, но не область. Вся плоскость есть одновременно и замкнутое и открытое множество. Назовем границей открытого множества множество I точек М, обладающих следующим свойством: сама точка М не принадлежит Е, но является предельной для Е точкой. Отметим, что всякая точка М, принадлежащая открытому множеству Е, является и предельной для Е, ибо все точки некоторой -окрестности М принадлежат Е.

Покажем, что - замкнутое множество. Пусть N — предельная точка I. Надо доказать, что N принадлежит I. По определению предельной точки в любой -окрестности N находятся точки I, а потому и точки Е, ибо I — граница Е. Но точка N не принадлежит Е, ибо все точки Е — внутренние. Таким образом, N — предельная точка Е, не принадлежащая Е, т. е. N принадлежит I, что и требовалось доказать. Если присоединить к открытому множеству Е его границу I, то полученное множество Е, как нетрудно показать, замкнуто. Переход от Е к обычно называется замыканием Е. Замыкание открытого квадрата приводит к замкнутому квадрату Отметим, что все точки I или некоторые из них могут стать внутренними точками Это будет иметь место, например, если Е — все точки плоскости, кроме точек окружности При этом Е есть вся плоскость. Если Е есть круг с исключенным радиусом из точки (0, 0) в точку (1, 0), т. е. с исключенными точками где то Е есть весь замкнутый круг Точки исключенного радиуса стали внутренними точками Е. Если Е — область, то Е называют часто замкнутой областью.

Введем еще некоторые понятия, связанные с любым множеством точек плоскости. Назовем производным множеством Е множества Е совокупность всех предельных . Как и выше для можно доказать, что всякое производное множество Е — замкнуто. Пусть множество всех точек плоскости, не принадлежащих Е. Оно называется обычно дополнительным для Е. Границей I любого множества Е называется множество точек, принадлежащих одному из множеств Е или и производной другого, т. е. Е и Е или и Е. Для открытого множества это определение границы равносильно приведенному выше.

Дадим и другое определение границы любого множества Е, равносильное, как нетрудно показать, указанному выше. Назовем точку М из Е изолированной точкой Е, если существует -окрестность М,

не содержащих точек Е, отличных от М. Границей I множества В назовем множество изолированных точек Е и тех предельных точек которые не являются внутренними точками этого множества. Можно, как и выше, показать, что I — замкнутое множество. Точки могу как принадлежать, так и не принадлежать к Е. Если присоединить I к Е, то получим замкнутое множество Е. Это доказывается, как и выше, для открытого множества.