142. Первая дифференциальная форма Гаусса.
Рассмотрим теперь квадрат дифференциала дуги какой-нибудь кривой на нашей поверхности
Открывая скобки, будем иметь так называемую первую дифференциальную форму Гаусса:
где
или
Совершенно так же, как и в [131], можно показать, что равенство нулю коэффициента F является необходимым и достаточным условием того, чтобы координатные линии 
были взаимно перпендикулярны. В этом частном случае криволинейные координаты 
на поверхности называются ортогональными координатами.
Выведем теперь выражение для элемента площади поверхности через коэффициенты выражения (41). Рассмотрим на поверхности малую площадку, ограниченную двумя парами близких координатных линий (рис. 106). Пусть 
- координаты основной вершины А.
Рис. 106.
Стороны AD и АВ будут соответственно 
. Принимая рассматриваемую малую площадку за параллелограмм [ср. 60], мы можем написать выражение площади этого параллелограмма как длины вектора, получаемого при векторном перемножении упомянутых векторов, т. е.
Имеем для квадрата длины вектора
откуда, в силу тождества (26) из [136],
и для элемента площади поверхности будем окончательно иметь
Точно так же, подставляя (43) в формулу (40), можем написать выражение единичного вектора нормали к поверхности в виде
Заметим, что, в силу (43), разность 
положительна.
