172. Пример.

Рассмотрим ряд Фурье

Мы имеем здесь

Для того чтобы представить в виде (43), разложим дробь по

степеням доведя разложение до членов порядка

и

Нам надо таким образом просуммировать два ряда:

Обозначая первую из сумм через можем переписать ее в виде

К каждой из этих сумм можно применить формулу (45). Рассмотрим сначала первую сумму. При изменении от 0 до к аргумент изменяется от у до , и формула (45) дает

Обращаясь ко второй сумме, замечаем, что при изменении от 0 до к аргумент меняется от —2 до 0 при изменении от у до аргумент меняется от 0 до у Формула (45) дает в этом случае

Складывая, получим для следующее конечное выражение:

Вторую из сумм (50) мы могли бы вычислить, пользуясь формулой (47), но можно поступать и иначе. Обозначим эту сумму через Нетрудно видеть, что, интегрируя дважды по мы получим с точностью до полинома первой степени. Интегрируя выражения (51) два раза, получим

и, следовательно,

Для определения постоянных заметим, что ряд Фурье для имеет коэффициенты порядка а ряд для имеет коэффициенты порядка и, следовательно, оба ряда сходятся равномерно и дают функцию, непрерывную при Отсюда следует, что оба выражения (52) и их производные должны совпадать при :

Кроме того, из вида второй из сумм (50) следует что, в силу (52), дает

Из этих уравнений можем определить все четыре постоянные:

подставляя в (52), получим выражение

Окончательно для ряда (48) получим выражение

что и решает нашу задачу. Функция выражается через известные функции состоящие из кусков прямых и парабол, и ряда Фурье, коэффициенты которого порядка