§ 98. Приближенный характер решений для плоского напряженного состояния

На стр. 49 отмечалось, что система уравнений для задач о плоском напряженном состоянии при сделанных предположениях не зависят от , которую мы сочли достаточной, не обеспечивает удовлетворение всех условий совместности. Эти предположения требуют, чтобы величины уху не зависели от и чтобы равнялись нулю. Первое из условий совместности (125) включалось в теорию плоского напряженного состояния в качестве уравнения (21). Легко проверить, что остальные пять уравнений удовлетворяются только в том случае, когда представляет собой линейную функцию от и у, что является скорее исключением, чем правилом, в решениях, полученных в главах 3—6. Очевидно, что эти решения не могут быть точными, однако, как мы сейчас покажем, они являются достаточно близким приближением для тонких пластинок.

Найдем точное решение уравнений трехмерной задачи для случая

приняв объемные еилы равными нулю. Такие решения должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) условиям совместности (126).

Поскольку равны нулю, третье, четвертое и пятое уравнения (126) (считая по столбцам) дают

а это означает, что значение производной постоянно. Обозначая это значение через после интегрирования по z получаем

где - пока неизвестная функция х и у.

Третье из уравнений (123) удовлетворяется тождественно, а первые два сводятся к двумерным уравнениям

которые, как и ранее, удовлетворяются, если положить

однако здесь является уже функцией х, у, z.

Возвращаясь к уравнению (126), заметим, что после сложения трех уравнений, стоящих слева с учетом равенства имеем

откуда ввиду (а)

где

Кроме того, поскольку равно нулю, а определяются первыми двумя уравнениями (б), мы можем записать откуда, с учетом (а), получаем

где — функция х и у, удовлетворяющая уравнению (г). Используя (а) и первое из соотношений (б), запишем первое из уравнений (126) в виде

Используя равенство (д), получаем

Кроме того, используя (г), мы можем заменить в на Тогда (е) принимает вид

или

Это уравнение можно использовать вместо первого уравнения (126). Аналогично второе и последнее равенства (126) можно заменить уравнениями

Эти уравнения вместе с (ж) показывают, что обращаются в нуль все три вторые производные по х и у от входящей в скобки функции, зависящей от Таким образом, эта функция должна быть линейной по х и у, и можно записать

где а, b и с — произвольные функции от

Интегрируя это уравнение дважды по z, получаем

где А, В и С — функции от z, полученные двукратным интегрированием , а — пока произвольные функции от х и у.

Если определить из (к) с помощью формул (б), то члены

не будут играть роли. Поэтому мы можем положить А, В и С равными нулю, соответственно приняв в (и) равными нулю а, b и с.

Если ограничиться задачами, в которых распределение напряжений симметрично относительно срединной плоскости пластинки , член также должен быть равным нулю. То же относится и к коэффициенту в выражении (а).

Тогда (к) приводится к виду

Однако связаны соотношением (д), в котором мы теперь положить Таким образом, подставляя и используя (г), получаем

откуда, согласно (г),

Остальные уравнения (126) удовлетворяются с учетом уравнения (а) и равенства нулю

Мы можем теперь получить распределение напряжений путем выбора функции от х и у, которая удовлетворяет уравнению (и), находя из уравнения из уравнения После этого напряжения определяются по формулам (б). Каждое из них, согласно состоит из двух частей, из которых первая вычисляется по а вторая — из члена . В силу уравнения (н) первая часть в точности отвечает компонентам плоского напряженного состояния, наеденным в главах 3—6. Вторая часть, будучи пропорциональна может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с первой, если ограничиться достаточно тонкими пластинками. Отсюда следует, что полученные нами в главах решения, хотя и не удовлетворяют условиям совместности, но тем не менее служат хорошим приближением для тонких пластинок.

«Точные» решения, представленные функциями напряжений в форме требуют, чтобы напряжения как на границе, так и всюду, изменялись по толщине параболически. Однако всякое отклонение от такого закона изменения напряжений, если он не меняет интенсивности усилия на единицу длины границы, будет менять лишь напряжения в непосредственной близости от границы, это следует из принципа Сен-Венана, стр. 57. Рассмотренный выше тип решения всегда представляет действительные пряжения, и компонентами туг на практике можно пренебречь, исключая области, близкие к границе.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)