§ 14. Дифференциальные уравнения равновесия

Рассмотрим равновесие малого прямоугольного параллелепипеда с размерами вдоль осей и толщиной единица (рис. 19). Напряжения, действующие на площадках 1, 2, 3,4 в положительных направлениях, показаны на рисунке. С учетом изменения напряжений в пространстве значения, скажем для граней 1 и 3 не в точности равны друг другу. Символы относятся к точке центру прямоугольника на рис. 19. Значения напряжений посередине граней будут обозначаться через Поскольку грани малы, действующие по ним усилия получаются путем умножения напряжений на площади граней, по которым они действуют.

Рис. 19.

Объемная сила, которой мы пренебрегали при рассмотрении равновесия треугольной призмы на рис. 12 как величиной высшего порядка малости, теперь должна учитываться, поскольку

она имеет тот же порядок, что и члены, описывающие исследуемые изменения компонент напряжения. Если обозначить через X, Y компоненты объемной силы, то уравнение равновесия сил, действующих в направлении оси х, имеет вид

или, после деления на

Если теперь уменьшать размеры рассматриваемого элементарного параллелепипеда, положив то, согласно определению производной, предел выражения будет равен Аналогично член станет равным Подобным же образом получится уравнение равновесия для сил, действующих в направлении оси у. Таким образом, будем иметь

Это два дифференциальных уравнения равновесия для двумерной задачи.

Рис. 20.

Во многих практических приложениях единственным видом объемных сил является вес тела. Тогда, направляя ось у вниз и обозначая через массу, отнесенную к единице объема тела, получим уравнения равновесия в виде