§ 69. Свойства напряжений и деформаций, отвечающих комплексным потенциалам, аналитическим в области материала, расположенной вокруг отверстия

Предположим, что отображающая функция является всюду аналитической в области, занятой материалом. Следовательно, если потенциалы являются аналитическими функциями от , то они останутся аналитическими, будучи выраженными как функции от в любой точке рассматриваемой области. Отсюда следует, что аналитическими функциями являются и все их производные. Из свойства аналитичности вытекает непрерывность этих функций. В частности, они приобретают свое первоначальное значение при обходе любого замкнутого контура, окружающего отверстие и лежащего внутри материала. Отсюда также следует, что их сопряженные функции, а также действительные и комплексные части порознь непрерывны.

Зная это, мы можем с использованием уравнений (86)-(91) установить следующие характеристические свойства напряженных состояний, представимых с помощью аналитических потенциалов.

1. Согласно уравнениям (87) и (88) компоненты напряжений являются непрерывными 2).

2. Согласно уравнению (86) компоненты перемещений являются непрерывными. Таким образом, напряженное состояние, даваемое решением, не может содержать дислокаций.

3. Согласно уравнению (90) полное усилие, действующее на любой контур, равно нулю. Следовательно, должна быть равна нулю и результирующая усилий, приложенных к границе отверстия.

4. Согласно уравнению (91) результирующий момент усилий, приложенных к границе отверстия, должен быть равным нулю.

Кроме того, если начало координат лежит внутри отверстия, то всякая функция аналитическая в области материала во всех точках, включая точки на бесконечности, допускает разложение в ряд Лорана

где и т. д. — постоянные. Рассматриваемые потенциалы таким образом, также допускают такое разложение. Тогда из уравнений (87) и (88) следует, что

5. Компоненты напряжений на бесконечности обращаются в нуль. Таким образом, на бесконечности нет никакой нагрузки, так как, согласно свойствам (3) и (4), результирующие сила или момент для бесконечного контура будут равны нулю.

Из этих свойств ясно, что напряжения и деформации, представленные аналитическими потенциалами, должны отвечать самоуравновешенному нагружению на границе отверстия.

Это ограничение не является чрезмерно сильным. Например, влияние ненагруженного отверстия в бесконечной области с нагружением границы на бесконечности (см., например, задачу, изображенную на рис. 118) можно найти, если сначала отыскать напряжения при отсутствии отверстия. Это вызывает некоторое нагружение на кривой, отвечающей отверстию, однако в силу того, что материал, заполняющий отверстие, находится в равновесии, это нагружение является самоуравновешенным. Далее нам нужно определить напряжения вне отверстия, вызванные равным по величине и противоположным по знаку нагружением границы отверстия и обращающиеся в нуль на бесконечности. Эта задача отвечает требованиям 1—5 для аналитических потенциалов.

Если требуется исследовать нагружение на границе отверстия, которое имеет ненулевые результирующие усилие и момент, можно исходить из решения для сосредоточенной силы, представленного в части (ж) задачи 2 на стр. 197, придавая силе требуемое результирующее значение. Сюда можно добавить решение для момента, представленное в части (а) той же задачи, считая b равным бесконечности и а — очень малым. Эти решения отвечают нагрузке, действующей на границе отверстия, которая обладает заданными результирующей силой и результирующим моментом, но распределена иначе, чем требуется. Заданное распределение нагрузки достигается введением некоторого доступного определению нагружения на границе отверстия, причем задача о таком нагружении отвечает требованиям, вытекающим из свойств аналитических потенциалов.

Если требуется получить дислокационное решение, то можно исходить из решений, представленных в частях (д) и (е) той же задачи, принимая заданные величины дислокационного переноса или вращения, и полученная таким образом задача будет удовлетворять требованиям, вытекающим из свойств аналитических потенциалов.

Потенциалы для каждой отдельной части задачи 2 на стр. 197, разумеется, не будут оба аналитическими всюду в области

материала, поскольку не является непрерывной функцией для любого замкнутого контура, окружающего начало координат, а также потому, что функции z и не являются аналитическими всюду в области, включающей бесконечность.