§ 23. Другие случаи балок с непрерывным распределением нагрузки

Увеличивая степень полиномов, представляющих решения двумерной задачи (§ 18), мы получаем решения задач изгиба для различных видов непрерывно распределенных нагрузок. Взяв, например, решение в форме полинома шестой степени и сочетая его с приведенными выше решениями из § 18, мы можем получить напряжения в вертикальной консоли, нагруженной гидростатическим давлением, как показано на рис. 29. Таким путем можно показать, что все условия на продольных краях консоли удовлетворяются следующей системой напряжений:

Рис. 29.

Здесь — вес единицы объема жидкости, так что интенсивность нагрузки на глубине х равна Поперечная сила и изгибающий момент на одной и той же глубине равны соответственно Очевидно, первые члены в выражениях для соответствуют значениям напряжений, полученным по обычным элементарным формулам.

На верхнем конце балки нормальные напряжения равны нулю. Касательные напряжения

хотя и не равны нулю, но малы по всему поперечному сечению и их результирующая равна нулю, в силу чего приближенно выполняется условие отсутствия внешней нагрузки на верхнем конце балки.

Добавляя к выражению для в уравнениях (а) член — где — удельный вес материала консоли, мы учтем тем самым собственный вес балки. Таким путем предлагалось использовать полученное решение для определения напряжений в каменных

плотинах прямоугольного поперечного сечения. Следует отметить, что это решение не удовлетворяет условиям на нижней грани плотины. Решение (а) является точным, если на нижней грани плотины действуют силы, распределенные в точности таким образом, как и напряжения в решении (а). В действительности нижняя грань плотины скреплена с основанием, и условия ее работы отличаются от тех, которые представляются этим решением. В соответствии с принципом Сен-Венана можно утверждать, что влияние закрепления на нижней грани на больших расстояниях от нее пренебрежимо мало, однако для каменных плотин размер поперечного сечения обычно нельзя считать малым по сравнению с высотой и пренебрегать этим влиянием не следует.

Рис. 30.

Принимая функцию напряжений в виде полинома седьмой степени, можно получить напряжения в балке, нагруженной по параболическому закону. В главе 6 (стр. показывается, как с помощью комплексной переменной можно сразу же выписать полиномиальную функцию напряжений любой степени.

В общем случае непрерывного распределения нагрузки (рис. 30) напряжения в любом поперечном сечении на значительном удалении от концов, скажем, на расстоянии, большем высоты балки, можно приближенно определить из следующих уравнений 3):

где М и Q — изгибающий момент и поперечная сила, вычисленные обычным путем, a q - интенсивность нагрузки в рассматриваемом поперечном сечении.

Эти уравнения согласуются с полученными ранее для балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки (см. § 22).

Если нагрузка интенсивности направлена вниз и распределена вдоль нижней грани балки, то выражения для напряжений получаются из уравнений (36) путем наложения однородного растягивающего напряжения и имеют вид