§ 121. Функция напряжений

При исследовании задач изгиба воспользуемся вновь функцией напряжений Легко видеть, что дифференциальные уравнения равновесия (б) и (в) предыдущего параграфа удовлетворяются, если принять

где — функция напряжений, зависящая от координат х а - функция только одной переменной у, которая будет определена ниже из граничных условий.

Подставив выражения (181) в уравнения совместности (д) предыдущего параграфа, получим

Из этих уравнений заключаем, что

где с — постоянная интегрирования. Эта постоянная имеет очень простой физический смысл. Рассмотрим вращение элементарной площадки в плоскости поперечного сечения консоли. Это щение определяется формулой (см. стр. 243)

Производную от угла поворота в направлении координаты z можно записать в виде

Используя закон Гука И выражения (181) для компонент напряжения, находим

После подстановки этого выражения в уравнение (а) получим

Если х является осью симметрии поперечного сечения бруса,

изгибаемого силой Р относительно этой оси, то мы получаем в результате симметричное поле вращения элементов поперечного сечения, отвечающее отрицательной кривизне, причем среднее значение для всего поперечного сечения будет равно нулю. Тогда среднее значение также должно равняться нулю, а это требует, чтобы была принята равной нулю постоянная с в равенстве (б). Если поперечное сечение не симметрично, мы можем определить изгиб без кручения как такой изгиб, при котором среднее значение равно нулю, снова, разумеется, потребовав равенства нулю постоянной с. Тогда уравнение (б) показывает, что обращается в нуль для элементов поперечного сечения, расположенных в центрах тяжести сечений, т. е. элементов, лежащих вдоль осей, которые имеют равное нулю относительное вращение, и если один из них закрепить, то не будут вращаться и другие. При с, равном нулю, равенство (а) принимает вид

Подставив выражения (181) в граничное условие (г) предыдущего параграфа, находим

Если задать функцию то из этого уравнения можно определить значения функции вдоль контура поперечного сечения. Уравнение (182) вместе с граничным условием (183) определяет функцию напряжений

В задачах, которые рассматриваются ниже, мы будем задавать функцию таким образом, чтобы правая часть уравнения (183) обращалась в нуль. При этом значение функции вдоль контура останется постоянным. Принимая эту постоянную равной нулю, мы сводим рассматриваемую задачу изгиба к решению дифференциального уравнения (182) с граничным условием Эта задача аналогична задаче о прогибах равномерно растянутой мембраны, имеющей ту же форму, что и поперечное сечение изгибаемого бруса, и нагруженной непрерывной нагрузкой, определяемой правой частью уравнения (182). Приведем несколько примеров использования этой аналогии.