§ 83. Вращение

В общем случае в процессе деформации тела любой его элемент меняет форму и испытывает вращение и поступательное перемещение. С учетом деформации сдвига края элемента поворачиваются на разные углы; поэтому следует обсудить, каким образом можно дать определение вращению всего элемента. Любой прямоугольный элемент можно привести в конечное состояние с помощью трех следующих шагов, примененных к элементу в недеформированном теле:

1. На элемент накладываются деформации и затем элемент ориентируется таким образом, чтобы направления главных деформаций не испытывали поворота.

2. Элемент переносится поступательно так, чтобы его центр занял свое конечное положение.

3. Элемент вращается вокруг центра до совпадения со своей конечной ориентацией.

Вращение на третьем шаге, очевидно, является вращением направлений главных деформаций и, следовательно, не зависит от выбора осей . Его можно определить при заданных перемещениях . В то же время это вращение, очевидно, не зависит от компонент деформации.

Поскольку поступательное перемещение элемента для нас не представляет интереса, мы можем рассмотреть перемещение некоторой точки Ох (см. § 81, рис. 128) относительно точки О, центра элемента. Это относительное перемещение определяется уравнениями (б) § 81 в виде

Используя для компонент деформаций обозначения (е) из § 81,

а также обозначения

мы можем записать соотношения (а) в форме

которая представляет относительные перемещения в виде двух частей; из них одна зависит только от компонент деформации, а другая — только от величин

Теперь мы можем показать, что величины в действительности являются компонентами вращения, осуществляемого на третьем шаге. Рассмотрим поверхность, определяемую уравнением (119). Квадрат радиуса в любом направлении обратно пропорционален относительному удлинению линейного элемента в этом направлении. Уравнение (119) при этом имеет вид

Если мы рассмотрим теперь соседнюю точку на этой поверхности, то получим соотношение

Сдвиг на величины происходит в направлении с направляющими косинусами, пропорциональными Три величины также определяют некоторое направление, так как мы можем принять направляющие косинусы пропорциональными им. Тогда левая часть уравнения (г) пропорциональна косинусу угла между двумя этими направлениями. Поскольку этот косинус должен, согласно (г), равняться нулю, то упомянутые два направления взаимно перпендикулярны. Далее, так как направление, определяемое лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке х, у, z, то направление, определяемое нормально к поверхности, описываемой уравнением (в).

Функция в нашем случае обозначает правую часть уравнения (119). Поэтому

Если поверхность, определяемая уравнением (119), имеет центр в точке О (рис. 128), то мы можем отождествить в соотношениях

Рассмотрим теперь частный случай, когда равны нулю. При этом правые части выражений (д) совпадают с правыми частями соотношений (б) во всем, за исключением множителя 2. Следовательно, перемещения, определяемые выражениями (б), нормальны к поверхности, определяемой уравнением (119). Если рассматривать точку (рис. 128) как точку на этой поверхности, это означает, что перемещение точки нормально к поверхности в точке Следовательно, если — это одна из главных осей деформации, т. е. одна из главных осей поверхности, то перемещение точки происходит в направлении 00,, а следовательно, отрезок не вращается. Рассматриваемое перемещение отвечает первому шагу.

Чтобы завершить процесс перемещения, нам следует учесть в соотношениях (б) члены, содержащие Однако эти члены отвечают малым вращениям тела как жесткого целого относительно осей х, у, z с компонентами . Следовательно, эти величины, определяемые формулами (122), выражают вращение на третьем шаге, т. е. вращение главных осей деформации в точке О. Их называют просто компонентами вращения.

ЗАДАЧИ

(см. скан)